Аналитическая динамика - Парс Л.А.
Скачать (прямая ссылка):
Обозначим смещение частицы В через х, а смещение частицы С через у. Уравнения движения имеют вид
Как и в предыдущем примере, эти уравнения легко получить из уравнений Лагранжа; с принятой точностью приближения имеем
Г = у mi2 + ту2,
где пг = Р/2ат. Уравнения Лагранжа имеют вид
'х + п2(3х — 2у) = 0, у + п2(2у — х) = 0. (9.1.36)
Система имеет всего лишь две степени свободы, что упрощает решение. Рассмотрим два способа решения этой задачи.
1) Как в предыдущем примере, для главного колебания имеем х =
= —р2х иг/ = —ргу. Подставляя эти значения х и у в уравнения движения, находим
(р2 — Зп2) X + 2п2у = О, п2х + (р2 - 2п2)у = 0. (9.1.37)
Этим уравнениям удовлетворяет ненулевой вектор {х, у) при условии, что
(р2 - 2п2) (р2 - Зп2) - 2п* = 0. (9.1.38)
Значения р2 в двух главных колебаниях равны
р\ = п2, pi = An2. (9.1.39)
В первом главном колебании — х -j- у = 0, а во втором х + 2у = 0. Можно было бы, аналогично предыдущему примеру, перейти к главным координатам, однако в этом нет необходимости, поскольку в случае двух степеней свободы результат очевиден. Когда система совершает первое главное колебание, вторая главная координата равна нулю, а когда система совершает второе главное колебание, первая главная координата равна нулю. Поэтому первая и вторая главные координаты \ и г| могут быть взяты в форме
I = X + 2у, т) = X - у, (9.1.40)
откуда
z = 4(E+2rr), Jy = I(I-T1). (9.1.41)
Как легко проверить, в этих координатах T и V представляются суммами квадратов:
Г = і-т(І2+2г>), V = \mn2{l2 + &yf). (9.1.42)
2) Умножая второе уравнение движения на А и складывая с первым, получаем
X + Ьу + п2 {(3 - I) X + (-2 + 21) у] = 0. (9.1.43)
10*
148
ТЕОРИЯ КОЛЕБАНИЙ
[Гл. IX
Это равенство принимает вид 8 + p2Q = 0 при
Следовательно, к = 2 или —1, Если к = 2, то получаем уравнение
і'+ 2у + ге2 (х -Ь 2г/) = 0; (9.1.45)
если же к = —1,-то получаем уравнение
(х — у) + 4га2 (х — у) = 0. (9.1.46)
Таким образом, мы находим как главные координаты, так и соответствующие периоды. Главные координаты равны % = х-\-2ут&,г\ = х — у. Имеем
I' + п2\ =0, '- + An2T] =• 0. (9.1.47)
Периоды главных колебаний равны 2я/п и 2я/2и;, поскольку первый из них в два раза больше второго, любое движение системы является периодическим с периодом 2я/п.
В начальный момент имеем
X = у = Ъ, і = "у = 0 (9.1.48)
Или
t = зь, T1 = 0, І = л'= 0. (9.1.49)
Следовательно,
| = ЗЬ cos nt, т) = 0 (9.1.50)
и
X = у = fecos nt. (9.1.51)
Пример 9.1С. Связанные системы. Пусть на стене висят двое маятниковых часов. Приведем один из маятников в колебание с амплитудой а. Тогда может случиться, что спустя некоторое время амплитуда колебаний этого маятника уменьшится почти до нуля, а второй маятник придет в колебание с амплитудой а. Спустя еще период времени второй маятник ¦остановится, а первый придет в колебание с первоначальной амплитудой а. Таким образом, колебание будет поочередно передаваться от одного маятника к другому. Аналогичное явление происходит в рассматриваемом ниже примере.
Тяжелый стержень AB массы M подвешен в горизонтальном положении да концы А и В на двух невесомых нитях длиной а каждая. К точке А подвешена на невесомой нити длиной а частица С массы т, такая же частица на такой же нити подвешена к точке В. Система совершает малые колебания в вертикальной плоскости около положения равновесия.
Если угол, который нити, удерживающие стержень, составляют с вертикалью, обозначить через 8, а углы отклонения маятников от вертикали — через ф и тр, то с принятой точностью приближения можно написать
T = у Ma2S2 + у та2 (9 + ф)2-f ~ та2 (9 + гр)2, V = у MgaQ2 + у mga (92 + Ф2) + у mga (92 + гр2).
(9.1.52)
9.1]
КОЛЕБАНИЯ ОКОЛО ПОЛОЖЕНИЯ РАВНОВЕСИЯ
149
Уравнения движения запишутся в виде
2k2Q + ф + яр + 2k2n2Q : 9 + ф -f- и2ф 9 + ф + и2ф
где к2 = -^- +1 и п2 = — . Отсюда
= 0, 0, = 0,
1 = 0,
(9.1.53)
(9.1.54)
ф — Ij) + И2 (ф — ф) :
так что одна из главных координат равна (ф —ф). Если второе и третье уравнения сложить и умножить на А; и прибавить или вычесть первое уравнение, то получим
(9.1.55)
(&+1)(2АА+ф+ф) + А/г2(2А;0+ф + ф) = О, I
(A-I) (2А0 — Ф — -ф) + кп2 (2А0 — ф — ф) = 0. J
Эти формулы определяют две другие главные координаты. Таким образом, главными координатами будут
Е = 2?9+Ф+ф,
T1= ф-ф, 1 (9.1.56)
? = 2&9 —ф —ф.
к к
Кроме того, р\ = "2> РІ= п2' РІ — ^ZTi п2- ^ас будет интересовать случай, когда отношение MIm велико (и, следовательно, к велико); в этом случае, как и следовало ожидать, все три периода почти одинаковы. Разрешая уравнения (9.1.56) относительно 9, ф, ф, получаем
4А9 = | + ?,
4Ф = ? + 2т|-?, (9.1.57)
4ф = Е-2т)-?.
Рассмотрим теперь движение, определяемое следующими начальными условиями:
При этом
9 = а/2&, ф = а, ф = 0; 9 = ф = ф = 0. ?¦ = 2а cos Pit, т] = а cos p2i, S — 0
(9.1.58) (9.1.59)
(9.1.60)
и, следовательно,
