Аналитическая динамика - Парс Л.А.
Скачать (прямая ссылка):
Сделаем еще одно существенное замечание. Форма (9.1.10) должна быть определенно-положительной; если V — лишь знакопостоянная (полуопределенная) форма, то изложенная выше теория теряет силу. Например, если
одна из переменных |, скажем |ь не входит в V, то соответствующее уравнение движения имеет вид I1 = 0. Отсюда следует, что I1 = cx1 + ?^, и переменная Ii в общем случае не остается малой в течение всего движения.
Рассмотрим теперь два конкретных примера; во втором из них система имеет лишь две степени свободы и решение поэтому значительно упрощается. Пример 9.1А. Невесомая струна длиной 4а натянута силой P между двумя фиксированными точками. На струне закреплены точечные массы
т, -^-т, т на равных расстояниях друг от друга и от концов струны (рис. 23).
о
Система совершает поперечные колебания в своей плоскости. Требуется найти движение системы.
Представим себе, что движение совершается на гладкой поверхности стола. Натяжение P будем считать большим и изменением его будем пренебрегать.
Пусть х, у, z обозначают смещения частиц в некоторый момент t. Уравнения движения частиц с точностью до величин первого порядка относительно X, у. z запишутся в виде
Рис. 23.
M-PtL=L-I.) .
\ a a J
<)ти уравнения можно переписать в следующей эквивалентной форме:
х'+2п2{2х — у) = 0,
'z + 2n* (2z — г/) = 0, J где ri1 = Р/2та.
Можно, конечно, получить уравнения движения и с помощью метода Лагранжа. Удлинение первого участка струны с точностью до величин второго порядка относительно ,X равно хг12а, Учитывая аналогичным образом
(9.1.23)
§ 9.1]
КОЛЕБАНИЯ ОКОЛО ПОЛОЖЕНИЯ РАВНОВЕСИЯ
145
удлинения остальных участков струны, получаем
V = -^{x2 + (x-у)* +(у- z)2 + z2} = 2тп2 (ж2 + г/2 + z2 - ху - yz). Кроме того,
T = ±m(x2 + ^y2 + 'z2).
Если составить теперь уравнения Лагранжа, то легко убедиться, что они совпадают с уравнениями движения (9.1.23).
Рис. 24.
Для главного колебания с периодом 2л/р имеем
— = и- = — = —р2
Подставляя х, у, z в уравнения движения, получаем
(р2 — An2) х + 2п2у = 0,
4
2п
''X+ (у P2 — 4и2)г/ + 2ге2г =0,
2и2г/+(р2 —4/г2)г = 0. Эти уравнения будут совместны, если
(9.1.24)
(9.1.25)
р2 — 4п2 2гс2
0
э2 — 4/г2 2и2
= 0.
(9.1.26)
2п- "J
0 2п* р2 — 4/г2
Отсюда, как и следовало ожидать, получаем три положительных значения р2:
pl = n2, pi = Ы2, Pl = Qn2. (9.1.27)
Для первого, или основного, главного колебания р2 = п2, и уравнения (9.1.25) для отношений x:y:z образуют (совместную) систему
-Зх+2у = 0,
Зх — 4г/ +3z = 0, 2у — 3z = 0,
так что для первого главного колебания
(9.1.28)
Аналогично, для второго главного колебания р2 = 4п2 и у = -^- = -^-j ,
а для третьего р2 = 6и2 и y = -~ = у. Формы всех трех колебаний
(несколько напоминающие формы первых трех колебаний однородной непрерывной струны) показаны на рис. 24.
Любое движение, в котором третье главное колебание отсутствует, является периодическим с периодом 2л/п.
10 Л. А. Парс
146
ТЕОРИЯ КОЛЕБАНИЙ
[Гл. IX
Преобразование к главным координатам т), ? имеет вид
я = 2Е + т1 + ?, Ї
= 3| -б,
= 2g-ti + s. J
у=
z
(9.1.29)
Отсюда
( х + 2у + z),
"10
4(«
? = i(3*-4z, + 3z).
(9.1.30)
Легко проверить, что T я V, выраженные через |, т), ?, имеют вид суммы квадратов:
1 /„л;„ , „*о . 10:
Г = ут (20|2 + 2т>+^?2),
1
V = -Lmn? (20|2 + 8т)2 + 20?2).
(9.1.31)
Теперь можно дать полное решение задачи линейного приближения при любых заданных начальных условиях. Значение | в некоторый момент t дается, например, формулой
§ = a cos pit + — sin pit,
Pi
где а и ? — значения | и | при 2 = 0.
Для конкретности предположим, что в начальный момент система находится в покое в положении равновесия и движение вызывается малым поперечным импульсом величиной ти, приложенным к первой частице. В начальный момент имеем
x = y = z = 0; х = и, у = z = 0, I = t) = ^ = O; I = JqU, t] = j«, t = Jou-В любой последующий момент времени будем иметь
I=-
Sin Pit, t) :
1Op1 """¦ri'' ¦i 1Op2 и окончательное решение будет иметь вид
2 . . . _5 Pl ' * ' ' Рг
Ъи «. Ъи
sin p2t, t, =-щ-am p3t,
и I 2 . ,.5. ,,З. Д X = TO- (-^-smp^ + —sinP2* + —sinP8«) .
За / 1 . , 1 д
и I 2 . , 5 . ,.3. д
z = -IcT (—smp^ — —8111^ + -8111^3^ ,
где
4
Я. 6
2та'
(9.1.32)
(9.1.33)
(9.1.34)
(9.1.35)
Пример 9.1В. Невесомая струна AD длиной 4о натянута силой P между двумя фиксированными точками. В середине струны В укреплена точечная масса т; другая точечная масса 2т укреплена в точке С, делящей
§ 9.І]
КОЛЕБАНИЯ ОКОЛО ПОЛОЖЕНИЯ РАВНОВЕСИЯ
147
пополам отрезок между BnD. Система совершает малые поперечные колебания в плоскости, проходящей через точки А и D.
Доказать, что движение системы является периодическим с периодом 2я/п, где п2 = Р/2та, и найти ее движение при условии, что в момент t = О каждая частица получает отклонение Ъ от прямой AD, а начальные скорости равны нулю.
