Аналитическая динамика - Парс Л.А.
Скачать (прямая ссылка):
Оно содержит только одну координату \т. Таким образом, система уравнений распадается на п полностью независимых систем.
Если в момент t = 0 |Г равно ат и |г равно ?r, то
|Р = ат cos prt + (?r/p,.) sin prt. (9.1.15)
Это решение получено совершенно независимо от остальных ?.
Координаты її, • • • > \п называются главными или нормальными координатами колебательной системы; колебание, при котором изменяется лишь одна главная координата, а остальные все время равны нулю, называется главным колебанием. Мы говорим, что в главном колебании соответствующая главная координата возбуждена, а остальные координаты находятся в покое. Как видно из формулы (9.1.14), в г-ж главном колебании координата |г изменяется по гармоническому закону с периодом 2п1рТ. Всего имеется п таких периодов, не обязательно различных; их называют собственными периодами или периодами свободных колебаний системы. Периоды свободных колебаний являются инвариантами системы и не зависят от лагранжевых координат, выбранных первоначально для описания системы. Главное колебание с наибольшим периодом и, стало быть, с наименьшей частотой, т. е. колебание с наименьшим р, называется основным колебанием. Поскольку q зависят от I линейно, любое колебание может быть представлено как суперпозиция главных колебаний.
Движение системы в общем случае, в противоположность описанному выше, обычно не является периодическим, однако в одном случае движение всегда будет периодическим независимо от начальных условий. Это имеет место тогда, когда отношение любой пары величин р представляет собой рациональное число. Если существуют целые числа Шх, m2, . . ., тп (не имеющие общего множителя) такие, что
-?l = -?l=... = ^2--2, (9.1.16)
то любое колебание системы является периодическим с периодом 2л/со- Если, однако, отношение одной пары величин р, скажем pt и pj, иррационально,
§ 9.1]
КОЛЕБАНИЯ ОКОЛО ПОЛОЖЕНИЯ РАВНОВЕСИЯ
143
то любое движение, в котором возбуждаются i-e и ;-е главные колебания г не может быть периодическим. Но можно, однако, всегда указать целые числа mi, TTi2, ¦ ¦ ., Tnn такие, что равенство (9.1.16) будет выполнено приближенно, и, таким образом, в широком смысле каждое движение приближенно является периодическим. В самом деле, каждая неременная qT представляет собой почти периодическую функцию от t. Для того чтобы приближение к периодическому движению было достаточно хорошим, приближенный период 2л/(|> может оказаться весьма большим.
В главном колебании, скажем в первом главном колебании, координаты |2, Езі • • ¦y Sn »се время равны нулю; отсюда следует, что отношения Qi : :q2: . . . :qn постоянны. В самом деле, если q и \ связаны соотношениями
Qi = TnnI1 + TnnI2 +•••+ Щг&п,
Q2 = Щііі + т22і2 + • • • + TTl2nIn, qn = THn1I1 +ТПП212+ . . .+ninntn, ,
то в первом главном колебании
J7l__J?2__ qn
ttl ^ ^ тті21 ^ni
(9.1.17)
(9.1.18)
и каждая координата qT изменяется по гармоническому закону с периодом 2JiIp1:
^- = ^.= ...=^2=—р* (9.1.19)
ql я2 qn v '
В главном колебании наблюдаемая конфигурация системы, определяемая отношениями q1 : q2 : . . .: qn, остается неизменной, а сами координаты изменяются по гармоническому закону с периодом соответствующего главного колебания.
Преобразование (9.1.17) можно записать в следующей форме:
Q = St. (9.1.20)
Здесь q— вектор (матрица-столбец) {qu q2, . . . , qn}, |—вектор {|ь I2,... . . ., ?n}, а 8 — квадратная матрица (mrs).
Решение конкретных задач, по крайней мере в тех случаях, когда периоды главных колебаний различны, не вызывает особых затруднений. Один из возможных путей решения используется ниже в примере 9.1 А. Он состоит в следующем. Сначала определяют периоды главных колебаний и отношения t/i : q2: . . . :qn для каждого такого колебания. Таким образом находят элементы матрицы (S и с помощью преобразования (9.1.17) приводят уравнения движения к форме (9.1.14). После этого, можно выразить решение через переменные I1, |27 • • -і Sn, если знать начальные значения \ и \; последние
можно определить из начальных значений q и q. Итак, для любого момента времени можно найти значения q, зависящие линейным образом от \, если
известны начальные значения q и q. Таким образом, задача полностью решается при любых начальных условиях.
Значения коэффициентов к, входящих в (9.1.13), не определяются описанной выше процедурой, так как мы нашли лишь отношения элементов в каждом столбце матрицы S. Соответствующая неопределенность имеет место и в отношении переменных |. Это обстоятельство, однако, совершенно несущественно с практической точки зрения. Преобразование
Ir = цТг\гі г = 1, 2, . . ., п, (9.1.21)
144
ТЕОРИЯ КОЛЕБАНИЙ
[гаї. IX
в котором [і — постоянные, а т] — главные координаты, выборе ц приводит выражения для TbVk виду
42* F=i2
при надлежащем
(9.1.22)
г=1
г=1
Этой формой часто пользуются при теоретических исследованиях, но практически можно обойтись без перехода от (9.1.13) к (9.1.22). Входящие в выражения (9.1.22) главные координаты т] определяются единственным образом (с точностью до знака), если все р различны.
