Аналитическая динамика - Парс Л.А.
Скачать (прямая ссылка):
z
1
Рис. 22.
GABCi связанной с диском) направим по оси симметрии диска. Координатами центра тяжести G будут \, л, a sin 9, где а — радиус диска. Функция Лагранжа запишется в виде
і={м (і2 + л!2 + a2 cos2 Є 02) + -і А (Єя + Ф2 sin2 9) +
+ ~С(і> + ф cos %Y — Mga sin 0, (8.12.1)-
где M — масса диска, А, А, С — его главные моменты инерции в точке G, причем С = 2А.
При виртуальном перемещении дифференциалы d|, dt], dQ, dip, dty связаны двумя соотношениями (условиями качения), а именно:
d? cos ф ¦+ d\\ sin ф — a dQ sin 0 = 0, (8.12.2)
— dt, sin ф 4- dr\ cos ф -f- a dty + л dy cos 9 = 0. (8.12.3).
В рассматриваемой задаче виртуальные перемещения, разумеется, совпадают с возможными перемещениями. Уравнения (8.12.2) и (8.12.3) можно получить различными способами. Можно, например, применить один из приемов, использованных в § 5.9 для составления уравнений качения сферы. Однако проще всего ввести подвижные оси 0123 (не связанные с диском), как указано на рис. 22, и так как точка К диска в данный момент находится в покое, то скорость точки G будет иметь составляющие 0, —асо3, а»2 или
• • •
0, —a (ij; + ф cos 9), а9. Поэтому составляющие скорости точки G по-
138
ПРИЛОЖЕНИЯ УРАВНЕНИЙ ЛАГРАНЖА
[Гл. VIII
направлениям OP, 02 будут равны ав sin 6, —а (г|з + <p cos 0). Приравнивая
• • • •
эти величины составляющим E cos ф + т] sin ф, —? sin ф + n cos ф, получаем условия (8.12.2), (8.12.3).
С помощью функции Лагранжа (8.12.1) и уравнений связи (8.12.2), {8.12.3) составляем уравнения движения:
М'І = X cos ф — u. sin ф, (8.12.4)
Mr\ = X sin ф + u cos ф, (8.12.5) -^- (Ma2 cos2 9 9 + ЛЄ) = — Ma2 cos 9 sin 9 02 + A cos 0 sin 0 cp2 —
— Cco3 ф sin 9 — Mga cos 0 — Xa sin 0, (8.12.6)
-^- (Л sin2 0 ф + C cos 0 CO3) = cos 0, (8.12.7)
(Cco3) = u.a. (8.12.8)
Здесь через Co3 обозначена величина -ф + ф cos 0. Всего мы имеем семь уравнений: пять уравнений (8.12.4) — (8.12.8) и условия качения
? cos ф + т] sin ф = a sin 0 0, (8.12.9)
—I sin ф + t] cos ф = —aco3. (8.12.10)
Полученные нами семь уравнений определяют семь неизвестных: ?, г), 0, ф, tJj, X, ц.
Физический смысл величин X, и очевиден: из уравнений (8.12.4), (8.12.5) получаем
M (\ cos ф + ті sin ф) = X, (8.12.11)
M (—1 sin ф + т] cos ф) = и, (8.12.12)
и, таким образом, X, и выражают составляющие реакции связи в точке контакта К вдоль осей OP и 02.
Легко выразить X и и через 0, ф, яр и их производные; в самом деле, из (8.12.9), (8.12.10) имеем
\ cos ф+т] sin ф+(—| sin ф-j-t] cos ф) ф=а (sin 0 0 + cos 9 92), (8.12.13)
—І sin Ф + t) cos ф — (I cos ф + т] sin ф) ф = —асо3. (8.12.14)
Учитывая (8.12.9) — (8.12.12), получаем
X =Ма (sin 9 ё-f cos 9 92 + со3ф), (8.12.15)
u = Ma (sin 0 0cp — CO3). (8.12.16)
Подставляя теперь эти выражения X и и в уравнения (8.12.6) и (8.12.8) ¦и исключая [і из (8.12.7) и (8.12.8), находим
(A + Ma2) 9 = Лф2 cos 9 sin 9 — (С + Ma2) со3ф sin 9 — Mga cos 9,
(8.12.17)
(С + Ma2)Co3 = Ма29ф sin В, (8.12.18)
-^(Ai>sin29) = Cco30sin0. (8.12.19)
Эти три уравнения содержат три переменные: 9, ф^ со3.
S 8.12]
КАЧЕНИЕ ДИСКА
139
Теперь можно составить дифференциальные уравнения, выражающие
соз и ср как функции от 0. Обозначая cos 0 через р, запишем уравнения (8.12.18) и (8.12.19) в форме
(2^+1)-^=-Ф, (8.12.20)
А.{(1-р*)ф}= -2со3. (8.12.21)
Здесь A = кМа2 и С = 2кМа2. Исключая ф, находим
І -ЖГі<* = 0. (8.12.22)
Это дифференциальное уравнение типа Лежандра определяет со3 как функцию от р. Значение коэффициента 2k+i равно 1 для обруча и -^- для диска. Исключая CO3 из (8.12.20) и (8.12.21), получаем
2STT*' (8Л2-23)
где через ? обозначено (1 — р2) ф. Дифференциальное уравнение (8.12.23)
определяет ?, а следовательно, и ф как функцию от р.
Из уравнения (8.12.17) можно получить условие для установившегося движения, при котором диск составляет с горизонтальной плоскостью угол а, а центр его движется по окружности радиуса Ъ со скоростью 6 со*. Величина
Ф в установившемся движении равна со; значение со определяется из уравнения
{(2? + 1) Ъ + ка cos а}со2 = g ctg а, (8.12.24)
при выводе которого используется равенство — асо3 = feco.
Рассмотренная задача иллюстрирует применение уравнений Лагранжа к неголономным системам. Мы видели, что это практически вполне возможно. Однако, вообще говоря, метод Лагранжа не особенно удобен для задач такого рода. Для неголономных систем более удобным и плодотворным является другой метод, основанный на уравнениях Гиббса — Аппеля; с этим методом мы познакомимся в гл. XII и XIII. .
Глава IX ТЕОРИЯ КОЛЕБАНИЙ
§ 9.1. Колебания около положения равновесия. Свой метод Лагранж с особо выдающимся успехом применил к теории малых колебаний механической системы около положения устойчивого равновесия. Правда, применяемые там уравнения описывают, движение приближенно, но, несмотря на это. представляют большой интерес, поскольку, как уже отмечалось ранее в § 8.1. эти уравнения относятся к числу полностью разрешимых: задаваясь значениями q и q при t = 0, можно получить явные формулы, дающие решения уравнений для всех последующих значений t.
