Аналитическая динамика - Парс Л.А.
Скачать (прямая ссылка):
^=4(^ + ^) + ^(^-4^47(^ + 2^4 + ^42). (28.7.8)
Соответствующая функция Гамильтона имеет выражение
H = ^{(Q + ^+(4>-wl)^~^-y(A^ + 2Blr\ + Crf), (28.7.9)
где через 9, ф обозначены составляющие импульса р|, рц. Гамилыоновы уравнения движения имеют вид
І = Є+©ті, 9=ю(ф-а)І) + т(ЛБ+?ті), ^ (28 7 10)
-ті)- і
т1 = ф_ш|, ф = —ш(Є4-шт]) + 7(Щ + Сч)
§ 28.8. Теория движения Луны. Рассмотрим более подробно случай, когда планетоидом является спутник тела В, так что отношение sil остается малым в течение всего времени движения. Возьмем новые координаты |, и с началом в точке В и положим
х = Ъ + 1, у = и. (28.8.1)
Функция Лагранжа (28.2.5) запишется в форме
L = -I & + ч2) + «в (6Л - T1I) + (0? + 1 со2 + т)2) + 2± + Jj-, (28.8.2)
где
г2 = Z2 + 211 + Vі + ч2, s2 = §2 + т)2. (28.8.3)
В выражении (28.8.2) мы опустили постоянное слагаемое, а также слагаемое coZrn, которое не оказывает влияния на движение (см. § 6.8).
Выражение (28.8.2) является точным. Примем теперь некоторые приближения, справедливые в случае, когда отношение sll остается малым в процессе движения. Кроме того, будем считать малым и отношение В/а. (Как уже отмечалось, если в точке А находится Солнце, а в точке В — Земля, то отношение ?/a составляет около 1/300 000. Для справедливости излагаемой ниже теории нужно еще допустить, что орбита Земли является круговой.) Рассмотрим слагаемые
в = (о2^+-1(о2(І'2+ч2)-+^ (28.8.4)
S 28.8]
ТЕОРИЯ ДВИЖЕНИЯ ЛУНЫ
571
входящие в выражение (28.8.2). Разлагая 1/г в ряд по степеням *|/Z и n/Z и отбрасывая члены порядка (s/Z)3, получаем
е_ Та ? 1 у (а+?) ,?8 , .у , уа Ь I с8 +Tl« , 3 S2 \ _.
0^T + Ж ^ +ч2) + ^f-I2- (28.8.5)
Произведем дальнейшие упрощения в полученной формуле. Прежде всего, слагаемое, пропорциональное ?s2, можно отбросить, как пренебрежимо малое по сравнению со слагаемым, пропорциональным а|2, поскольку отношение ?/a мало, а отношение s/Z в течение всего времени также остается малым. Оставшийся член можно записать в виде-
&? = тч+т°*ш' (28-8-6)
и с достаточной для нас степенью точности коэффициент a^.?' можно принять равным единице. В результате выражение в приближенно будет равно 3
-j W2I2 и функция Лагранжа будет иметь вид
L = у (І2 4- tl2) + со (|г, - ЛІ) + I со2!2 + • (28.8.7)
Отличие от ньютоновской задачи состоит в присутствии слагаемых 3
O)(^t)-T)I) и у CO2I2. Уравнения движения, соответствующие функции (28.8.7), имеют вид
X-2соті - 3(0? = - y?|/s3, 1 т) + 2со| = — y?-n/s3
Интеграл Якоби принимает форму
у(І2 + ті2) = ^- + | со2|2 + й. (28.8.9)
Теперь мы имеем лишь два положения равновесия: TV1 и N3. Эти точки находятся на прямой AB и имеют координаты
y? \ 1/3
j (28.8.8)
Далее имеем
и можем написать
V? - ? 1» ~- ? 18
Зш2 3 (a+?) ~ 3a ? \і/з
(28-8'11^
Уравнения движения можно представить в эквивалентной форме, при которой мы не будем иметь особенности в точке s = 0. Умножая уравнения (28.8.8) соответственно на т), | и вычитая, получаем
|т] - т)'| + 2со (ІІ + тп]) + Зсо2|т) = 0. (28.8.12)
Умножая же эти уравнения соответственно на | и т| и складывая, находим
|ї + T]TJ- 2со (|н - т)І) + А (І2 + Л2) -1CO2I2 = А. (28.8.13)
572
ОГРАНИЧЕННАЯ ЗАДАЧА ТРЕХ ТЕЛ
І-Гл. XXVIII
Наиболее важным приложением является случай, когда в точке А находится Солнце, в точке В — Земля, а планетоидом является Луна. При этом можно считать, что орбита Земли при ее движении вокруг Солнца достаточно близка к круговой и что масса Луны пренебрежимо мала. Уравнения (28.8.8) являются уравнениями Хилла; они чрезвычайно важны для исследования движения Луны. Ввиду недостатка места мы не можем дать здесь подробного изложения основных результатов. Отметим только, что основная цель астронома заключается в отыскании периодических движений. Периодическое движение с периодом 0 можно представить в форме рядов
oo OO
I= 2 cos (2га+ 1) т, ч=2 К sin (2га +1) т,
Ti=o и=0
где г — новая переменная (т = 2лi/o). Подстановка этих рядов в уравнения (28.8.8) или (28.8.12), (28.8.13) дает возможность определить (зависящие от о) коэффициенты ап, Ъп.
Глава XXIX ЗАДАЧА ТРЕХ ТЕЛ
§ 29.1. Классические интегралы*). Три частицы A1, A2, A3, имеющие массы соответственно Tn1, тп2, тп3, движутся в пространстве под действием сил взаимного притяжения. В момент t = О заданы координаты и скорости частиц. Требуется определить положения частиц в любой момент времени.
Возьмем неподвижную систему прямоугольных осей и обозначим текущие координаты частиц A1. через хг, yr, zT. Координаты центра масс G этих частиц обозначим через X, Y, Z. Тогда будем иметь ззз Ж=^тл, IY= S ч„ MZ=^1TUrZr, (29.1.1)
г= 1 г= 1 г= 1
где M есть масса системы
M = Tn1 + M2 + Tn3. (29.1.2)
Положим
Xr = X + ат, yr = Y+Vr, Zr = Z + уг, (29.1.3)
т. е. пусть ar, ?r, уг будут координатами частиц Аг относительно поступательно движущейся системы с началом в точке G.
Функцию t кинетической энергии системы можно представить в одной из следующих форм:
