Аналитическая динамика - Парс Л.А.
Скачать (прямая ссылка):
1) Если U0 > U2, то область ограничивается изнутри выпуклыми замкнутыми кривыми, охватывающими точки А и В, а снаружи — большой выпуклой замкнутой кривой (рис. 116, а). Если U0 очень велико, то эти
^ Х=2,2 Ю
Рис. 116.
овальные кривые близки по форме к окружностям. Областями возможных движений являются области внутри малых овалов и вне большого овала. Если планетоид совершает движение внутри одного из малых овалов, то
он является спутником одного из центров А или В; при этом гравитационное притяжение соответствующего центра является основным фактором, определяющим движение планетоида.
2) Если CZ2 > ?/0 > U3, то область возможных движений ограничена лишь двумя кривыми (рис. 116, Ъ). Наибольший интерес представляет случай, когда планетоид движется во внутренней области. Вычисле-Рис. 117. ния, проведенные в § 17.11, по-
казывают, что в этом случае траекториями будут кривые типа лемнискат, и планетоид при этом как бы является спутником обоих притягивающих центров.
3) Если U3> U0~> U\, то область возможных движений ограничена одной-единственной кривой (рис. 117, а).
4) Если CZ1 > U0 > Uk, то имеются две замкнутые граничные кривые (рис. 117, Ь), и движение возможно только вне областей, ограниченных этими кривыми.
5) Если CZ4 > U0, то граничных кривых не существует. Областью U > U0 возможных движений является вся плоскость.
В общем случае наибольший интерес представляют варианты 1) и 2), для которых U0 > U3.
Ь)
§ 28.7]
ДВИЖЕНИЕ ВБЛИЗИ ПОЛОЖЕНИЯ РАВНОВЕСИЯ
569
Кривые, изображенные на рисунках, соответствуют случаю, когда а = 2?, а X имеет значения 2,2; 2,0; 1,8 и 1,6; здесь (см. (28.2.13))
l-4i^+j) + (h*+v)- <28-6-4>
§ 28.7. Движение вблизи положения равновесия. Возникает вопрос: являются ли положения равновесия устойчивыми и существуют ли такие движения планетоида, при которых он все время остается вблизи какой-либо-из точек JV;?
Обозначим через X0, у о координаты какой-нибудь точки JVj и положим в уравнениях движения
X = х0 + I, у=Уо+ц. (28.7.1)
Разлагая правые части уравнений движения в ряды по степеням ? и и и сохраняя только члены первого порядка, получаем следующие уравнения линейного приближения:
'-• - 15 ' "": ) (28.7.2)
ii + 2»E = T(BE + Cr|). J
В этих уравнениях постоянные А, В и С выражают значения производных ~дЖ' дхду и ~ду2~ в точке хоі Уо- Уравнения (28.7.2) представляют собой уравнения в вариациях § 23.1, хотя в данном случае рассматриваются отклонения относительно положения равновесия, а не относительно известной траектории.
Решение уравнений (28.7.2) — линейных уравнений с постоянными коэффициентами — составляется из членов, содержащих в качестве множителя est, где s — корень уравнения
s2 — у А — 2(os — у В 2т — у В s2 — уС
= 0, (28.7.3)
или
.V4 — {у [А + С) — 4со2} s2 + у2 {AC — В'1) = 0. (28.7.4)
Это — квадратное уравнение относительно s2, и для устойчивости по первому приближению корни его должны быть вещественны и отрицательны.
G самого начала ясно, что по крайней мере одно из положений равновесия JVi, ./V2, N3 не будет устойчивым. В самом деле, согласно (28.6.1) AC — — 52 < 0, так что одно из значений s2 положительно, а другое отрицательно. Величины s имеют вид либо ±р, либо ±ip', где р и р — вещественные положительные числа.
Рассмотрим теперь одну из точек JV4, JV5. Для этих точек уравнение (28.7.4) принимает вид
** + (a + ?)+ja? J[I = O. (28.7.5).
(Мы сюда подставили найденные ранее значения постоянных А, В ж С, см. (28.5.2).) Для того чтобы s2 было вещественно и отрицательно, нужно, чтобы
а2 — 25a? -f ?2 > 0, (28.7.6)
а это неравенство в свою очередь будет выполняться при условии, если отношение a/? превышает больший корень уравнения
X2 - 2Ъх + 1 = 0, (28.7.7)
570
ОГРАНИЧЕННАЯ ЗАДАЧА ТРЕХ ТЕЛ
[Гл. XXVIII
который равен 24,96... Таким образом, положения равновесия 7V4 и TV5 будут устойчивы по первому приближению, если масса в точке А приблизительно в 25 раз больше массы в точке В. Если, например, в точке А находится Солнце, а в точке В — одна из планет, то это условие, разумеется, будет выполняться.
Сделаем по поводу полученных результатов два замечания. Во-первых, устойчивость по первому приближению еще не означает устойчивости при рассмотрении точных уравнений (гл. XIX). Кроме того, в этом случае мы лишены возможности вывести суждение об устойчивости из интеграла энергии, как это мы делали в теории малых колебаний (гл. IX). Во-вторых, если система устойчива при рассмотрении точных уравнений, а также в первом приближении, то это связано с влиянием линейных членов Ti в выражении для L. Благодаря им в уравнениях движения появляются гироскопические члены. При отсутствии слагаемых TZ1 мы имели бы задачу о движении в поле консервативных сил, а для такого поля потенциальная функция в точках TV4 и N5 имеет максимум, и эти точки являются положениями неустойчивого равновесия.
Линеаризованные уравнения движения (28.7.2) являются уравнениями Лагранжа. полученными из функции Лагранжа