Аналитическая динамика - Парс Л.А.
Скачать (прямая ссылка):
*=-?_Z=_2±2&Z, r = Z, s = 2Z, (28.4.4)
dU _ a + 2? a ? „ /9» Л к\
-Ш ~--P--h H "+" W < U' (^8.4.5)
откуда вытекает, что точка JVi расположена между х = — а — / и і = — а. Точно так же доказывается, что точка N3 лежит между х = Ътз.х=Ъ-\-1. Что касается точки TV2, то она располагается между GnB. Действительно, для точки G имеем
+ *+ ? —«*-И(ЗД'<0. (28.4.6)
566
ОГРАНИЧЕННАЯ ЗАДАЧА ТРЕХ ТЕЛ
[Гл. XXVIII
График функции U (х, 0) показан на рис. 114.
Имея в виду дальнейшие приложения, отметим, что в каждой из точек N1, N2, N3
дх* -^и'
дх ду
= 0,
ду*
0.
(28.4.7)
Первое из этих условий было доказано выше (см. (28.4.1)), а второе вытекает из (28.3.9). Для того чтобы доказать третье, заметим, что в точ-
ке TV1 согласно (28.3.10) ~
. dU „
А, и так как в этой точке -— = 0, то из соот-
OX
ношения (28.3.5) получаем
ду*
a?/
a + ?
А G N2B Рис. 114.
N,
Это выражение в точке N1 отрицательно, поскольку в этой точке i<0 и r<s. Для точки N3 доказательство аналогично. Для точки N2 имеем
дЮ_ , =a + ?__a___?
ду2 ~ Is /-3 s3
(28.4.9)
и это выражение отрицательно, так как в области M2 и г и s не превышают I. Обратимся к графику функции U (х, 0) (рис. 114). В точках N1, N2 и N3 функция имеет минимум, причем можно показать, что
U (п2) > U (п3), U (п3) > U (Ti1)
(28.4.10)
(мы по-прежнему считаем, что a > ? > 0). Для этого возьмем в области M3 точку Q3 (х = д3), расстояние которой от точки В равно расстоянию точки N2 от точки В. Положив N2B = BQ3 = h, будем иметь
213 (°
U (Tl2) -U (Q3) ={
2Z3
'4Wi-
(28.4.11)
Отсюда следует, что U (п2) > U (д3). Но, с другой стороны, U (д3) ^ U (п3), поскольку в точке N3 функция U имеет меньшее значение, чем в любой другой точке области M3, что и доказывает первое из неравенств (28.4.10).
Возьмем теперь в области M1 точку Q1 (х = д^, находящуюся от точки G на том же расстоянии, что и точка N3. Положив Q1G = GN3 = к, будем иметь
2?b _ 2ф
2ал . ~ к2 —а2 + ~Р—Ж ~ с
2ф (?2 —а2) (a+?) (/с2 —а2) (А* — б2)
(
1
¦ + ?
>0.
/с2—а2 1 /с2 —б2
О
(28.4.12)
Отсюда следует, что U (п3) > U (qj). Но, с другой стороны, U (Q1) ^ ^ U (щ), поскольку в точке Ni функция U имеет меньшее значение, чем в любой другой точке области M1; таким образом, второе неравенство (28.4.10) доказано.
S 28.6]
поверхность Z=V
567
§ 28.5. Положения равновесия, не лежащие на прямой АВ: Перейдем теперь к рассмотрению второй возможности, которую мы указывали в конце § 28.3, а именно предположим, что 1K = 0. Отсюда следует, что dUldy = 0, и так как, кроме того, в каждой равновесной точке dUldx = 0, то из (28.3.5) получаем, что г = s. Из формулы (28.3.7) теперь находим, что г = s = I. Таким образом, имеется еще два положения равновесия iV4 и N5 в вершинах равносторонних треугольников с основанием АВ. Точка JV4 имеет координаты у, V3-j) ' а точка ^V5 — координаты ' — ^34)"
Вторые производные функции U в точках JV4 и N5 определяются формулами (28.3.8) — (28.3.10). В каждой из этих точек
x = o, X -\- a, = b — X-
i, T = S = i,
откуда получаем
дЮ _ 3 a + ? дх* — 4 is ¦
дЮ
3 УЗ к-? д'Щ _ 9 к + ?
(28.5.1)
(28.5.2)
дхду — 4 I3 ' ду* 4 I3 Верхний знак в этих формулах относится к точке iV4, а нижний — к точке N5.
Интересно установить существование равновесных точек TV4 и N5 на основании элементарных соображений. Предположим, например, что планетоид находится в положении VV4. В этом положении составляющая действующей на планетоид результирующей силы по направлению, перпендикулярному к GiV4, равна нулю, так как (см. обозначения на рис. 115)
^ sin G1=^sIn G2.
(28.5.3)
Последнее равенство вытекает из соотношения sin G1 AG ?
sin G2 GB
(28.5.4)
Возьмем на отрезке iV4? точку К такую, чтобы прямая GK была параллельна прямой ANt; тогда
N,K = AG--
a+?
I, KG = GB-.
¦a+?
(28.5.5)
Рис. 115.
На единицу массы планетоида в направлении TV4G будет действовать сила ї| cos Gj+^f cos G2= 7("3+?)- (NiK cos Q2+KG cos G1) = V^ + ?) GiV4 = GA4-W2. (28.5.6) Отсюда и следует искомый результат.
§ 28.6. Поверхность я = JJ. В каждой из пяти точек Nt касательная плоскость к поверхности Z=U параллельна плоскости z = 0. В положениях равновесия, лежащих на прямой AB, имеем (см.1 (28.4.7))
Неравенство показывает, что эти положения равновесия являются седло-выми точками, а не точками минимума. Что касается точек iV4 и N5, то для них имеем (см-. 28.5.2))
дЮ
дх*
>о,
дЮ д'Щ
I дЮ у \ дхду )
27оф 4/в
>0,
(28.6.2)
дх'2- ду2
так что они представляют собой точки минимума. Имеем очевидные неравенства
U2 > U3 > CZ1 > Ut = U5, (28.6.3)
568
ОГРАНИЧЕННАЯ ЗАДАЧА ТРЕХ ТЕЛ
[Гл. XXVIII
где Ui обозначает величину функции U в соответствующей точке Nt. Теперь легко представить форму поверхности Z = U {х, у).
Мы видели (см. (28.2.10)), что при заданном значении постоянной энергии h движение может происходить лишь в области U > U0, где U0 = = — h/y. Исследуем границы этой области при различных значениях U0.
