Аналитическая динамика - Парс Л.А.
Скачать (прямая ссылка):
притяжения частиц А ж В, но ее собственная
масса т столь мала, что она не оказывает склько-нибудь заметного влияния на движения А и В. Задача состоит в том, чтобы определить движение частицы Р.
Возьмем вращающиеся оси с началом в точке G и осью х, направленной вдоль прямой GB (рис. 113). Обозначим длину отрезка AB через Z, а угловую скорость вращения — через со; величина со будет определяться по формуле
со'
-1<2+Ё>. (28.2.1)
По отношению к вращающимся осям частица А будет находиться в покое в положении (—а, 0), а частица В — в покое в положении (Ь, 0), где а и Ъ определяются по формулам
b=sf?L (28-2-2>
Не нарушая общности, можно принять, что ос > ? > 0. Считая, что частица P (х, у) не влияет на движение частиц А я В, можем написать
Т = ±т{(х-У(й)* + (у + х<*)*}, F=(28.2.3)
где г обозначает длину отрезка АР, as — длину отрезка BP:
г2 = (х + а)2 + у2, s2 = (х — Ь)2 + у2. (28.2.4)
Опуская положительный множитель т, можем написать
L = l(x2+y2) + u(xy-yi) + Ja2(x2 + y2)+-^+??-. (28.2.5)
Функция L имеет вид T2 + Ti + T0 — V. При отсутствии членов Ti и T0 мы имели бы задачу о движении в поле притяжения двух неподвижных центров, рассмотренную нами в § 17.10 и далее. Заметим, что функция L не содержит явно t; интеграл Якоби (6.8.3) имеет вид
T2 + V - T0 = J (X2 + у2) - J со2 (X2 + у2) -Э? - IE = h. (28.2.6) Введем обозначение
T0-V = yu, (28.2.7)
где
U = U(X, у) = J^ (Х2 + у2) + ± , 1. (28_2_8)
36*:
564
ОГРАНИЧЕННАЯ ЗАДАЧА ТРЕХ ТЕЛ
[Гл. XXVIII
Уравнения движения запишутся в виде
dU .
дх ' I
еи і (28-2-9>
х-2щ = у-,
У + 2ах = у ду . }
Эти уравнения показывают, что движение происходит так же, как движение частицы единичной массы в поле консервативных сил с потенциалом —yU при наложенных гироскопических силах. Из интеграла Якоби (28.2.6) следует, что во все время движения yU + h > 0; следовательно, движение может происходить лишь при
U>U0, (28.2.10)
где U0 = — h/y. Поскольку
ЬГ2 _|_ as2 = і (ж2 _|_ у2) + ao (а + Ь), (28.2.11) выражение для U можно представить в переменных г и s. Тогда будем иметь
U^(^ + M + ^+l-±^. (28.2.12) Полагая r = pl, s = al, находим
ю— (тP2+}) +? (у°3+4)-Т5?' (28-2ЛЗ)
Эта формула удобна для построения кривых U = const. В областях у > 0 и у < 0 можно р и а принять за независимые переменные, но вдоль оси у = 0 переменные р и a связаны между собой. Если ось у = 0 разделить на три части: SfI\(—оо < х < — я), .$2 (— a < ж < 6) и (6 < я < оо), то будем иметь
о—P=I в области Mi, "]
ст-|-р = 1 в области ?Нг, [ (28.2.14)
р—Ct = I в области 31%. )
§ 28.3. Положения равновесия. В точках, где функция U принимает стационарное значение, планетоид может находиться в покое относительно вращающихся осей. Если представить себе поверхность
г = U, (28.3.1)
то положениями равновесия будут те ее точки, в которых касательная плоскость параллельна плоскости z = 0. В точках А и В поверхность (28.3.1) уходит в бесконечность и при X2 + у2 —>- оо приблиясенно представляет параболоид
Далее имеем
2/3
dU a + ? a, (X+а) ?(^-?) ,оо о оч
te"-p-X--F3---Й ' (Zo.d.d)
-(2^rW)?' (28-3-4)
или
f = ^--^(1-1), (28.3.5)
дх a + ? \r3 s3 /
f = ^, (28.3.6)
S 28.4]
ПОЛОЖЕНИЯ РАВНОВЕСИЯ HA ПРЯМОЙ ab
565
где для краткости обозначено
A=_±u__(28.3.7)
Вторые производные (они нам понадобятся ниже) имеют следующие выражения:
aw_i , За(х+а)з 3?(*-b)s (28 3 8)
д^/У _ дЮ ^За(х + а)у З$(х-Ъ)у (28.3.9)
дх ду ду дх г5 [S5 '
^ = A.+ i_L2 + ^. (28.3.10)
В точках равновесия f-j==^ = 0- Согласно (28.3.6) отсюда следует, что либо у = 0, либо А, = 0. Рассмотрим оба случая.
§ 28.4. Положения равновесия на прямой AB. При у = 0 имеем г = = | я + а |, s = I ж — 6 I и, следовательно, исключая особые точки А и В,
cW_a + ? , 2а 2? (2g 4 ^
Таким образом, д217/дх2 > 0 при у = 0. Рассмотрим поведение функции С/ (ж, 0) при возрастании х от —оо до + оо. При х = — аж х = Ъ она обращается в бесконечность и, кроме того, стремится к бесконечности вместе с I X |. Производная dUldx монотонно возрастает от —оо до +оо в каждой из трех областей: М\ (— оо < х < — а), Мг(—а-<х<.Ь) и (Ь < <?<oo). Следовательно, в каждой из этих областей производная dUldx один раз принимает нулевое значение, и функция Z7 достигает при этом минимума. Соответствующие точки 7V1 {х = W1), 7V2 (я = га2), Л^з (я = ^3) являются положениями равновесия. Этот факт физически совершенно очевиден, если U считать потенциалом.
Положение равновесия 7V1 находится на расстоянии, не превышающем I, от точки А, а положение равновесия N3 — на расстоянии, не превышающем Z, от точки В. Чтобы доказать это, замечаем, что для трех указанных выше областей
= (-1,1,1), * =(-1,-1, 1), (28.4.2)
х-\-а v ' ' " x — Ь так что, например, в области Jj1
dU a + ? . a , ? /9о г q\
+ (28.4.3)
Следовательно, для точки области JJ1, в которой будем иметь
