Аналитическая динамика - Парс Л.А.
Скачать (прямая ссылка):
В новых переменных функция Гамильтона будет иметь вид K* + (dU/dt). Таким образом,
К*+LL- =-L- a2 {i [cog 2 (ni— ?) — cos 2 (пі— ?')] — і/і 4o
— [cos 4 (ni — ?)— cos 4 (ni — ?')]}, (25.2.32
причем правую часть надлежит выразить через а', ?', t. Но а мало отличается от а', a? — от ?'; поэтому новая функция Гамильтона близка к нулю и а' и ?' почти постоян-
ны. Отсюда, как и ранее, приходим к равенству ? = ?' + -g- а*.
о
§ 25.3. Вариация эллиптических элементов. Задача о движении двух тел (например, Солнца и планеты) под действием сил взаимного притяжения может быть рассмотрена на основе изложенной выше теории. Здесь требуется выяснить, каково изменение во времени эллиптических элементов а, е, i, t0, щ, фо (§ 18.13), вызванное малым возмущением.
В свое время мы уже определили с помощью теоремы Гамильтона — Якоби связь эллиптических элементов с величинами an?. Она выражается следующими формулами (см. (18.13.16)):
CX1= — р,/(2а), Pi = *о, j
а2 = ]/ра(1-е2), P2= -и0, (25.3.1)
OC3 = Kf^(I—e2)cosі, Рз=— Фо- j
Разрешая эти уравнения относительно эллиптических элементов, получаем
1
а~ Za1 '
е2 _ ^ _j_ 2aja|
И2
' • аз
COS I = —
а2
I0 =
U0 =
—'Рг.
Фо =
-Рз-
(25.3.2)
Зададимся пертурбационной функцией К* (а; Р; t); выражая ее через переменные а, е, i, t0, и0, ц>0 и t, получаем возмущающую функцию R:
К* (а; Р; t) = —R (а, е, i, t0, и0, ф0; t). (25.3.3)
Составим теперь уравнения, определяющие зависимость величин а, е, i, t0, щ, ф0 от времени. Для этого перейдем в уравнениях (25.2.3) к эллиптическим элементам. Этот переход произведем в два этапа3 сначала выразим
производные а, . . . через а, ...,т.е. через дК*1да\, . . ., а затем выразим величины дК*1даи . . . через dRlda, . . .
25.3]
ВАРИАЦИЯ ЭЛЛИПТИЧЕСКИХ ЭЛЕМЕНТОВ
511
Таким образом, осуществляя первый этап, получаем • _ ц 2а2 дК*
2а|' а* ~ и. o?i
ее-
. di - Sin I —rr == dt
I0-U0-
1 _ e2 дК*
ца a?2
«з
2 ""2 2
аг
а3:
дК*
V(XO (1 — е2) O?2
+
Уца (1 — е2) o?3
= ?i =
Фо = —Рз =
- дк*
R - дК*
Oa3
Осуществляя второй этап, получаем дК* dR да dR де _ u dR
да і
дК* <?a2
да даі де oaj
dR де
dR ді
де Oa2 ді Oa2
«1 аД _ 2af da yfie де
а <Эа |.іе де
2K1O2 dR а3 ОД
(л2е де а| sin і
— е2 ОД ctgi ОД
Иа Уца (1 - є2)"
ОД
ді
1 <ЭД
і
dR
да3
— <3i
да3
а2 sin і di
sin i~|/jxa (1 — е2)
di
dK*
дД
dpi
d.ff*
dR
o?2
du0 '
діГ*
dR
d?3
дфо '
Из этих формул находим
2а2 дД
а =
е =
j.1 dt0 '
a (1-е2) дД 1
di
ctgi
аг0 е dR
Y
1-е2 їЗД [Х<г ди0 '
і ад
(ft
V[xa(l —е2) o"o sin іУца (1— е2) <5ф0 ' • _ 2а2 ОД а (1-е2) дД 0 ц da *~ (ле '
Ф° ""sin iV(ia(l— е2) oi
і — е2 ад
ctgi
ад
H-a <Эв Уца(1—е2) '
і ад
(25.3.4)
(25.3.5)
(25.3.6)
512
теория преобразований
[Гл. XXV
Эти уравнения определяют изменение эллиптических элементов со временем *).
Исследуем сначала возмущение движения планеты, вызываемое наличием другой планеты. В § 18.7 мы нашли выражение для возмущающей функции R через координаты обеих планет относительно Солнца, и, чтобы использовать его в уравнениях (25.3.6), следует перейти к эллиптическим элементам планет. Всего получается двенадцать уравнений, поскольку элементы ¦а', е', i', t'0, и'0, ц>'п второй планеты также немного изменяются со временем. Исследование этой системы уравнений составляет одну из важнейших задач небесной механики; не имея возможности привести его здесь во всей полноте, ограничимся несколькими замечаниями.
Так как массы планет т1 и т2 малы по сравнению с массой Солнца М, то решения уравнений можно искать в форме
а = а0 + а1 + а2+..., а' = а'0 + а[ + а2 + . . ., (25.3.7)
и аналогично для остальных элементов. Здесь а0 обозначает начальное значение a; Ui имеет первый порядок относительно mJM и т21М; а2 — второй порядок и т. д. Об этих величинах можно говорить как о возмущениях первого и второго порядка, и аналогично для других элементов. Если мы хотим ограничиться возмущениями первого порядка, то вычисления упрощаются, поскольку функция R сама имеет первый порядок и в правых частях уравнений (25.3.6) элементы обеих планет можно считать постоянными и равными их начальным значениям. Правые части (25.3.6) с принятой степенью точности можно считать известными функциями от t, и решение этих уравнений может быть найдено по способу механических квадратур.
Наиболее распространенный способ отыскания решения общей задачи состоит в разложении функции R в ряд вида 2 С cos D, где
D = V1I + v[V + v2u0 + v'2u'Q + V3Cp0 + vjcp;. (25.3.8)
Здесь V и v' — целые числа, положительные, отрицательные или нули, а коэффициенты С зависят от шести параметров: а, а', е, е, і, і'. Во многих приложениях достаточно бывает нескольких членов, чтобы получить высокую точность приближения. Тем не менее некоторые теоретические вопросы, например вопрос о сходимости рядов, остаются пока нерешенными.
