Аналитическая динамика - Парс Л.А.
Скачать (прямая ссылка):
Рассмотрим более общий случай. Пусть qr = ur (t), рт = vr (t) будет известным решением уравнений Гамильтона для автономной системы. Производящая функция
U = S (дт- Ur)(Pr + Vr) (25.1.9)
г=1
дает контактное преобразование
Я, = Ur + Qr, Pr = Vr + Pr. (25.1.10)
Мы снова видим, что (Q; P) характеризует отклонение от известного решения. Новая функция Гамильтона имеет вид
п п
H(u+Q; v+P)+ S Qrv\- S Prur, (25.1.11)
г= 1 г= 1
а уравнения движения записываются в форме
hr(u; v), 1 \-ffgr(u; V), J
(25.1.12)
Qt = HPt(u + Q; v + P)-Hp
Pr=-Hgr(u+Q; v + P)-
где через Hq^ обозначена частная производная dH/dqT, а через НРг — производная dHldpr (см. § 16.2). Линейное приближение (т. е. уравнения в вариациях) можно получить, раскладывая функцию H (и + Q; v + P) в ряд по степеням Q и P и сохраняя одни только квадратичные члены. Разумеется, линейное приближение можно получить весьма просто и не пользуясь теорией контактных преобразований (см. (23.1.4)).
Преобразования (25.1.8) и (25.1.10) представляют расширенные точечные преобразования весьма частного вида. В этих преобразованиях не только q являются функциями от (Qi, Q2, ¦ • ¦, Qn), но и р являются функциями от (Pi, P2, ¦ ¦ ., Pn); далее, каждое qr есть функция от соответствующего Qr и от if, а каждое рг — функция от соответствующего Рг и от t.
506
теория преобразований
[Гл. XXV
Приведем еще один простой пример контактного преобразования, для которого уравнения преобразования содержат t. Рассмотрим частицу единичной массы, движущуюся в плоскости под действием силы притяжения к центру О. В неподвижных прямоугольных осях будем иметь
L = \(x*+'y*)-V, H = ±(p%+pl) + V, V = V(г), "I
z ^_ \ (25.1.13)
Г = Y зЛ + у2, J
Применим контактное преобразование, получаемое из производящей функции
U = Px (х cos cot + у sin at) + Рт (у cos at — X sin (Dt), (25.1.14) где (о — постоянная. Уравнения преобразования будут иметь вид
X = X COS (Dt+ U Sin (Dt, Y = UCOS(Dt — X Sin (Dt, 1
> (25.1.15)
Px = Px COS (Dt — PySinCuZ, Py = Px Sin (Dt + PY COS (Dt. J
Новой функцией Гамильтона будет сумма H + (dU/dt), выраженная через (X, Y, Px, Рг):
H* = Y (Px + Py) - со (XPY - YPx) + V. (25.1.16)
Геометрический смысл такой замены очевиден: (X, Y) представляют собой координаты частицы в системе осей, равномерно вращающихся с угловой скоростью со. В этих осях
T = ~ {(X-Y(Df+ (Y + X(Df}, (25.1.17)
Px = X-Y(D, Pr = Y+X(D, (25.1.18)
а функция Н* равна сумме T2 + V-T0, выраженной через (Px, Py) (вместо X и У):
Н* = i- {(Px + Y(Df + (Pr - X(Df} + V - ¦i со2 (Z2 + У2) =
= I (Px + Py) - (D (XPr - YPx) + V. (25.1.19)
Мы снова получили формулу (25.1.16).
§ 25.2. Вариация элементов траектории. Предположим, что нам удалось с помощью теоремы Гамильтона — Якоби найти решение уравнений движения системы с функцией Гамильтона Н. Рассмотрим теперь другую задачу, когда функция Гамильтона равна H +-К. Решение этой новой задачи получается, как мы покажем, путем интегрирования уравнений движения гамильтоновой системы чрезвычайно простого вида.
Пусть S = S (qi, q2, ¦ ¦ ¦, qn\ ai, a2, • • -, <*тГ> 0 е°ть известный полный интеграл уравнения в частных производных Гамильтона для исходной системы. Рассмотрим преобразование (q; р) в (а; ?), определяемое уравнениями
dS л
S 25.2]
ВАРИАЦИЯ ЭЛЕМЕНТОВ ТРАЕКТОРИИ
507
Это преобразование является контактным, поскольку
?rdar = --~dctT= -dS+-f-dqr + ^-dt = prdqr-H dt-dS. (25.2.2)
Рассмотрим теперь задачу, когда функция Гамильтона равна H -f- К, и составим уравнения движения в новых переменных (а; ?). По теореме Якоби (§ 25.1) новые уравнения движения будут иметь вид
' — дК*
• дК*
?r==
г= 1, 2, ..., п,
(25.2.3)
где К* обозначает функцию К, выраженную через а, ? и t. Это как раз мы и хотели доказать.
Сделаем несколько замечаний, относящихся к полученному результату.
1) Если К = 0, то, как показывают формулы (25.2.3), величины а и ? постоянны, и мы получаем в точности теорему Гамильтона — Якоби.
2) Если К Ф 0, то решение новой задачи представляется в весьма интересной форме. В исходной задаче движение описывалось переменными q и р, выраженными через t я 2п постоянных (а; ?) Решение новой задачи дается точно такими же формулами, что и решение исходной, с той лишь разницей, что постоянные (а; ?) заменяются общим решением уравнений (25.2.3). Это общее решение будет содержать 2п новых постоянных.
Новую задачу теперь можно интерпретировать следующим образом. Можно считать, что в каждый момент времени движение происходит вдоль одной из траекторий первоначальной задачи, но элементы (а; ?) этих траекторий не остаются постоянными (как это было в первоначальной задаче), а изменяются с течением времени. Вместо того, чтобы переход от функции Гамильтона H к H + К рассматривать как совершенно новую задачу, мы теперь характеризуем влияние дополнительного члена К как непрерывное изменение первоначального движения. Функцию К можно назвать пертурбационной функцией. (В небесной механике возмущающая функция R обычно представляет собой дополнительное слагаемое в выражении гравитационного потенциала и К = —R.)
