Аналитическая динамика - Парс Л.А.
Скачать (прямая ссылка):
§ 24.15]
НЕКОТОРЫЕ ПРИМЕРЫ
503
простой пример. Положим в формулах (24.15.9) а = 1, ? = —i/n, где п — вещественное положительное число. Тогда будем иметь
-]/2Q=—(i/n){p + inq), ~]/2P = p—inq. (24.15.21J
Если в формулах (24.15.20) положить к= і, то получим контактное преобразование
Q = eiP Vq + a, P = ie-iV\/q + a- (24.15.22)
К этому результату можно также прийти, объединяя формулы (24.15.9) при а = 1 и ? = і и формулы (24.15.13).
Рассмотренные выше примеры относились к системам с одной степенью свободы, обратимся теперь к системам с п степенями свободы. Простой пример дает расширенное точечное преобразование (§ 24.4). В качестве иллюстрации рассмотрим переход от декартовых координат к полярным в случае плоского движения точки. В этом случае
Qi = х, q2 = у, Q1 = г, Q2 = 9 (24.15.23)
и формулы (24.4.6) имеют вид
х = г cos 9, i/ = sin9,
Pr = Px cos 9 -j-Py sin 9, pe = r(— Px sin Q+ Py cos 9).
Контактные преобразования встречаются и во многих других случаях. Движение динамической системы определяет контактное преобразование (q0; р0) в (q; р). Кроме того, если мы будем фиксировать траекторию в фазовом пространстве с помощью параметров (а; ?), связанных с (q0; р0) соотношениями ?r dar = pr0 dqr0, то преобразование от (а; ?) к (q; р) будет контактным (§ 24.1). В самом деле, подобное контактное преобразование мы получаем всякий раз, когда решаем задачу динамики с помощью теоремы Гамильтона — Якоби (§ 25.2). Можно, наконец, определить контактное преобразование с помощью производящей функции (§ 24.3); в дальнейшем, при исследовании задачи трех тел (гл. XXIX), мы приведем много примеров контактных преобразований.
(24.15.24)
Глава XXV ТЕОРИЯ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ
§ 25.1. Уравнения движения после контактных преобразований. Рассмотрим те видоизменения, которым подвергаются уравнения движения механической системы при переходе от старых переменных к новым посредством контактного преобразования. Пусть динамическая система характеризуется функцией Гамильтона H (qi, q2, . . ., qn; pi, р2, ¦ ¦ ¦,Pn', t). Уравнения движения запишем в виде
«'=-ap7' Рг=-Ж' г = 1,2,...,п. (25.1.1)
Перейдем к новым переменным Qi, Q2, . . ., Qn, Pi, P2, . . , Pn, связанным со старыми контактным преобразованием, таким, что
P7 dQr = Pr dqT + R dt — dW. (25.1.2)
Согласно известной теореме Якоби уравнения движения в новых переменных сохраняют гамильтонову форму *).
Доказательство этой теоремы получается весьма просто из теоремы эквивалентности (§ 16.3) и основного свойства контактного преобразования (25.1.2). Предположим, что решения уравнений (25.1.1) выражены через 2п независимых параметров yi, у2, . . ., у2п (см. § 16.3). Тогда будем иметь
рг dqT — H dt = d\p + со, (25.1.3)
2п
где to есть пфаффова форма 2 К» dys, причем К суть функции у. Кроме
S=I
того, равенство (25.1.3) показывает, что переменные q и р удовлетворяют уравнениям (25.1.1).
Чтобы описать движение в новых переменных Q и Р, нужно эти переменные выразить через параметры у и t посредством q и р. Из (25.1.3) и (25.1.2) имеем
РТ dQr — (H + R)dt = d (г|) — W) + со, (25.1.4)
и теорема Якоби теперь следует из второй части теоремы эквивалентности. Новыми уравнениями движения будут
Qr = ^r, Pr= --Щ^, г= 1,2, ...,п, (25.1.5)
где символом Н* обозначена сумма функций H + R, выраженная через переменные Q, P и t, что и составляет содержание теоремы Якоби.
Если контактное преобразование задается производящей функцией U (см. (24.3.6), (24.3.7)), то новая функция Гамильтона Н* равняется сумме H -f- (dU/dt), выраженной через Q, P и t. В частности, если уравнения преобразования не содержат t, то новые уравнения Гамильтона в перзменных (Q; P) получаются из функции Гамильтона H*, которая равна исходной функции Гамильтона Н, выраженной в новых переменных.
*) Доказательство того, что уравнения Гамильтона при контактных преобразованиях сохраняют свою форму, дано Якоби (Comptes Rendus, 1837, стр. 61).
і 25.1] УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ ПОСЛЕ КОНТАКТНЫХ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ 505
Рассмотрим несколько частных случаев. Если применить преобразование
qr = Рг, рг = -QT, г = 1, 2, . . ., п, (25.1.6)
уже встречавшееся нам в § 24.3 и в § 24.15, то новая функция Гамильтона будет равна H (Р; —Q; t). В теории преобразований стирается различие между координатами и импульсами; в частности, лагранжева координата может играть роль составляющей импульса.
Рассмотрим другой важный частный случай. Пусть точка (at, а2, ¦ . . . ., ап; bi, Ъ2, ... Ьп) будет стационарной точкой автономной системы с гамильтоновой функцией Н, так что формулы qT = ат, рт = Ът будут определять равновесное решение уравнений Гамильтона. Рассмотрим производящую функцию
U=^1 (qr-ar)(Pr + br). (25.1.7)
г= і
Получаемое из нее контактное преобразование будет определяться уравнениями
Qr = ar + Qr, Pr = br + Pr- (25.1.8)
Мы видим, что (Q; P) характеризует отклонение от равновесного решения. Новая функция Гамильтона Н* имеет вид H (a ¦+ Q; Ъ + P). Если H есть аналитическая функция, то, представляя ее в виде степенного ряда по переменным Qr и Рт, найдем, что Н* не будет содержать линейных членов. Линейное приближение к уравнениям движения мы получим, если в Н* сохраним лишь члены второго порядка.
