Аналитическая динамика - Парс Л.А.
Скачать (прямая ссылка):
Pr = грГ (g; Q; t), г = 1, 2, . . ., п. (24.14.3)
Докажем, что для всех пар г и s справедливы равенства
-5^ = -1^. (24.14.4)
¦dqt- dqT v '
S 24.15]
НЕКОТОРЫЕ ПРИМЕРЫ
501
Подставляя в (24.14.2) вместо рг функции грг, получаем тождество относительно переменных (д; О; t):
срг (д; гр; t) - Q1 = 0, 1 = 1, 2, . . ., п. (24.14.5)
Дифференцируя это тождество частным. образом по gs, находим
iJl_|?lJjiL = 0, i = l,2, ...,п. (24.14.6)
dqs dpr dqs v '
Если теперь умножить полученное равенство на d<fj/dps и просуммировать по s от 1 до п, то получим
дфі dyj dgt d<fj d\pT =0 (24 14 7)
dqs dps ' dpr dps dqs
Вычтем из этого уравнения такое же уравнение, в котором переставлены индексы і и у; используя условие (фг, ф7) = С, найдем
дфг деру d\pr dqj дщ ^ q (24 14 8)
dpr dPs dqs дРг dPs dqs \ • • /
Если во втором члене слева поменять местами повторяющиеся индексы г и s, то полученное равенство можно представить в форме
д^_Р_,д$г__ лм=0_ (24.14.9)
дрг dps \ dqs dqr I у '
Всего мы имеем тт? таких уравнений (соответственно числу пар значений г и у), и из этой системы линейных однородных уравнений можно найти тг2 неизвестных величин
дт|у dips dqs dqr '
Определитель из коэффициентов этой системы равен /2п и не равен нулю; следовательно, для всех пар чисел г и s справедливы равенства
4^ = 4^. (24.14.10)
dqs dqT v '
Отсюда следует, что существует функция W =W (g; Q; t) такая, что
Pr = ^r(g; Q; 0 = -^-. г= 1,2, ...,п, (24.14.11)
а матрица является неособои (в противном случае между перемен-
ными q, р и t существовало бы тождественное соотношение). Поэтому, если положить
Рг-=—щ-, г= 1,2, ...,п, (24.14.12)
то уравнения (24.14.11), (24.14.12) определят контактное преобразование (см. (24.2.7), (24.2.8)), что и требовалось доказать.
§ 24.15. Некоторые примеры. Рассмотрим сначала систему с одной степенью свободы. В этом случае вопрос решается просто: единственным условием контактности преобразования является требование о сохранении меры, а именно:
4^4-=1- (24.15.1)
d(q, P) '
Как можно видеть, это есть условие для скобок Пуассона (§ 24.9). Можно также
заметить, что интеграл р dq вдоль простой замкнутой кривой в фазовом пространстве
(т. е. в плоскости qp) равен (со знаком минус) площади, ограниченной этой кривой; неизменность площади означает, что выражение P dQ — р dq является полным дифференциалом.
502
КОНТАКТНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ
[ГЛ. XXIV
Линейное преобразование
Q = aq + ftp + с, р = а'д 4_ ъ'р 4- с' (24.15.2)
с коэффициентами а, 6, с, а', Ь', с', зависящими от времени, является контактным лишь в том случае, если
сЬ' - Ъа' = 1. (24.15.3)
Простой способ нахождения контактного преобразования мы получаем, рассматривая движение динамических систем. При этом переменные (д, р) определяют координаты начальной точки, а переменные (Q, P) — координаты изображающей точки в момент t. Уравнения таких преобразований, соответствующих действительным движениям, обращаются в тождества при t = 0; если зафиксировать значение t -ф 0, то получим контактное преобразование, не зависящее от времени. Следующие два примера контактных преобразований соответствуют хорошо известным задачам прямолинейного движения:
Q = 4 + pt+\gt\ P = P+gt, (24.15.4)
Q = q cos nt 4- (pin) sin nt, P = —nq sin nt -\- p cos nt. (24.15.5) Другими простыми примерами линейных контактных преобразований могут служить
Q = V-Яо, P=P-Po, (24.15.6)
Q = aq, P = PIa, (24.15.7)
Q = ар, P = —q/а, (24.15.8)
V2Q = a?4-?p, У2Р=-(1/РН4-(1/а)р. (24.15.9)
Последовательно применяя эти преобразования, можно получать другие преобразования. Отметим два важных частных случая преобразования (24.15.8), которые получаются при а = ±1, а именно:
Q = P, P= -д, (24.15.10)
Q = -р, P = q. (24.15.11)
Преобразование
Q = / (д) cos р, P = f (q) sin р (24.15.12)
является контактным при условии, если //' =1, /2 = 2 (о 4" аУ, тогда получаем
Q= Т/2 (q + a) cosp, P = 1/2 (д + а) sin р. (24.15.13)
Это можно записать также в форме
2(?+a) = Q24-i32, p = arctg (-^-)- (24.15.14)
Легко убедиться, что выражение P dQ — р dg представляет собой полный дифференциал. В самом деле,
P dQ — р dg = d {(cos р sin р — р) (д + а)}. (24.15.15)
Формулы (24.15.13) можно также вывести из производящей функции U (р, Q) (см. (24.3.3), (24.3.4)); для этого достаточно взять
U= —lQ2tgp4-op. (24.15.16)
Объединяя (24.15.13) и (24.15.10), получаем контактное преобразование
Q= 1/2 (р4-а) cos д, P= —1/2 (р+а) sing. (24.15.17)
Преобразование
Q = ebPj (q), P= e-bPg (д) (24.15.18)
является контактным, если
-A (fg' + gf) = 1, -kfg = д + а. (24.15.19)
В частности, формулы
Q = е*Р 1/q + a, P = — (1/ft) е-*"3 і/ї+a (24.15.20)
определяют контактное преобразование.
Понятие контактного преобразования мы до сих пор применяли лишь к вещественным переменным. Это понятие допускает распространение и на тот случай, когда переменные (q; р) и (Q; P) могут принимать комплексные значения. В конкретных приложениях окончательные результаты мы будем записывать в вещественной форме. Рассмотрим
