Аналитическая динамика - Парс Л.А.
Скачать (прямая ссылка):
УСЛОВИЯ КОНТАКТНОСТИ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ, СКОБКИ ЛАГРАНЖА
495
Формулы (24.5.2), (24.5.3) представляют особый интерес вследствие их сходства с уравнениями движения Гамильтона. Вспомним, что впервые рассмотренные нами контактные преобразования определялись движением динамической системы. Теперь мы видим, что и в общем случае контактные преобразования определяются уравнениями сходной структуры.
Это сходство становится еще более разительным, если правые части уравнений (24.5.2) — (24.5.4) считать малыми величинами; для этого достаточно положить, например, M = р,ср, где ц. — малый параметр.
Если пренебрегать членами порядка ц.2, то нет необходимости делать различие между величинами, выражаемыми малыми и большими буквами в членах, умножаемых на ц.. Учитывая это, мы приходим к уравнениям
Рг-рг=-ц-^, (24.5-6)
R = Ii-^7 (24.5.7)
в которых <р = ср (q; р; t). Определяемое этими уравнениями преобразование называется бесконечно малым контактным преобразованием. Его можно интерпретировать как изменение положения в фазовом пространстве, которое происходит в течение малого промежутка времени от t до t + (X для динамической системы с гамильтоновой функцией, равной ср.
§ 24.6. Обобщение теоремы Лиувилля. Свойство сохранения меры при преобразованиях, определяемых уравнениями Гамильтона (последние, как мы видели, определяют контактные преобразования), сохраняется и для контактных преобразований общего вида. В самом деле, докажем, что якобиан
d(Qi, Q2, .•., Qn, Pi, Рь Pn) /24 є і)
0(?1> Яг, ¦¦¦, <7n> Pl. Рг, ¦¦¦,Pn) \ ¦ ¦ >
имеет значение, равное единице. Для определенности возьмем случай, когда переменные q и Q не связаны никакими тождественными соотношениями. Преобразование определяется уравнениями (24.2.7), (24.2.8), в которых независимыми переменными являются q и О. Записывая якобиан (24.6.1) кратко в форме д (Q; P)Id (q; р), получаем
d (Q', P) _ d(Q; P) J д{д; р) , ,,п d(P) I д(р) \ dQ J \ dg ) _. ,о/ fi 2> d(q, P) ~ d(g;Q) / d(g;Q) К Х> д (?) / д (Q) dg j д (Q) \**-v-*J
где, например, символ д (P)Id (q) обозначает определитель d (Pi, P2, ¦ . . . . ., Pn)Id Cg1, q2, . ., qn). Теорема, таким образом, доказана. В других случаях доказательство проводится аналогичным образом.
§ 24.7. Условия контактности преобразования, скобки Лагранжа.
Пусть каждая из переменных qi, q2, . ¦ ., q„, Pi, Pz, • ¦ ¦, Pn является функцией класса C2 от N аргументов и, v, w, ... Рассмотрим сумму п определителей Якоби
d^LLlzL. (24.7.1)
д (и, V) 4 '
Эту сумму называют скобкой Лагранжа и обозначают обычно символом [и, и]. В данный момент нас будет интересовать случай, когда N = 2п + 1; в качестве аргументов и, v, и>, ... выберем Qi, Q2, . . ., Qn, Pu P2, . . . . . ., Pn, t. Для того чтобы преобразование переменных (q; р) к переменным (Q; P) было контактным, необхоаимо и аостаточно, чтобы выполнялись
496
КОНТАКТНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ
[Гл. XXIV
равенства
[Qr, Q8}= 0, [Pr, P8] = 0, [Qr, P8] = 8Г (24.7.2)
для всех пар целых чисел г, s в последовательности 1,.2, . . ., п при любом фиксированном значении t.
Доказательство следует немедленно. Принимая во внимание основное равенство (24.2.5) и выбирая Q и P за независимые переменные, находим, что для контактности преобразования необходимо и достаточно, чтобы выражение
(р* Ж~Р') d0'+(p> ж) йРг (24л*3)
было полным дифференциалом при любом фиксированном значении t. Но это выражение представляет полный дифференциал лишь в том случае, если выполняются равенства
dQ,
(р,
дР*
dQr ~
Pr)=-
dQr
d
дРг
д
dQr
6Qr
(р,
(ft
(р,
dg і
Jgj_\ 9P8 I '
.).
1
дР.
(24.7.4)
что равносильно (24.7.2).
§ 24.8. Соотношения между двумя системами производных. Предположим, что область D пространства- [q; р) при фиксированном значении t преобразуется в область E пространства (Q; P) посредством контактного преобразования. При этом производные от функций Q и P по переменным (q; р), взятые в точке области D, свйзаны простым образом с производными от функций (q; р) по переменным (Q; P), взятыми в соответствующей точке области Е, а именно:
dQr dps
dqs dPr
dPr
dQr dp8 dPr
dqs
dPr
dq8
dqs
dQr
dps
dQr
(24.8.1) (24.8.2)
Доказательство весьма просто получается из условий для скобок Лагранжа, •выведенных в предыдущем параграфе. Пусть г — любое целое число из 1, 2, . . ., п; рассмотрим форму Пфаффа
dpi I dq% , dg і
последовательности 9Pi л„ дЧ
dPr
dpi
dPs
ClP8
dPT \ dQ8 vs 1 aP8
Отсюда следуют формулы (24.8.1). зом получаются из равенства
dp і
= [Q8, Pr] dQs + [P8, Pr] dP8 = dQr. (24.8.3) Соотношения (24.8.2) аналогичным обра-
dQr
dqt
dqt
dQr
dpt = —dPr.
(24.8.4)
Формулы (24.8.1), (24.8.2) можно вывести простым и изящным образом, рассматривая так называемый билинейный ковариант. Рассмотрим две произвольные вариации dx и 6х точки as0 = (g10, q20, . . ., qn0, Pi0, Р20, ¦ ¦ •> Рпо) фазового пространства. Обозначим через dX и б JT соответствующие вариации преобразованной точки JT0 = (Qi0, Qzo< ¦ ¦ ¦ ¦ ¦ ¦, QnO, Рю, Р20, ¦ ¦ ¦i Рпо)- Tozda cnpaeedAUeo равенство
