Аналитическая динамика - Парс Л.А.
Скачать (прямая ссылка):
491
перестанут быть справедливыми и должны быть заменены следующими: pT = ^L- + xML, г=1,2, п, (24.2.13)
Р'=-Ж-%Ж' ^=1,2, ...,п, (24.2.14)
где X — неопределенный множитель. Аналогично, если матрица (дц>г1др3) имеет ранг (п — Г), то переменные q, Q и t связаны I тождествами и соот-
I-
ветствующие формулы преобразования содержат I множителей X1, X2, . . ., X
§ 24.3. Другие формулы. Некоторых неудобств, связанных с введением множителей, можно избежать, если немного изменить ход решения. Рассмотрим еще раз случай, когда якобиан (24.2.6) тождественно равен нулю, так что переменные q, Q Tit связаны по крайней мере одним тождественным соотношением. Но будем предполагать, что якобиан
а(Фі,Ф,,...,Фп) (24 3 1)
не равен тождественно нулю. Тогда уравнения (24.2.1) можно разрешить относительно переменных q, выразив их через р, Q и t. Если теперь уравнение (24.2.5) записать в форме
Рт clQr = —Чт dpT + Rdt- dU, (24.3.2)
положив U = W — ЧгРті и функции R и U выразить через переменные (р; Q; t), то мы придем к следующим формулам:
?г=~, г = 1,2, п, (24.3.3)
dp?
P*=-W' r=l,2,..., и, (24.3.4)
R = ^T- (24.3.5)
Таким образом, контактное преобразование выражено нами посредством производящей функции U (р; Q; і).
Итак, мы рассмотрели два способа получения контактных преобразований с помощью производящих функций; можно указать еще два способа получения преобразований этого типа. Рассмотрим контактное преобразование, в котором переменные X1, х2, . . ., хп и X1, X2, . . ., Xn не связаны никакими тождественными соотношениями (малыми буквами х здесь обозначены либо все переменные q, либо все переменные р, а большими буквами X — либо все Q, либо все P). Возьмем в фундаментальном соотношении (24.2.1) X и X в качестве независимых переменных. Легко проверить, что формулы
dU
дхг ~дХг
г = 1,2, п, (24.3.6)
±YT = —jg-, г = 1,2, п, (24.3.7)
R = ML (24.3.8)
содержат в себе как ранее полученные соотношения (24.2.7), (24.2.8) и (24.3.3), (24.3.4), так и две группы соотношений, которые еще не были нами получены. В этих формулах U = U (х; X; t) 6 C3, а у и Y обозначают системы переменных, не входящих в U; выбор знака производится согласно
492
КОНТАКТНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ
[Гл. XXIV
мнемоническому правилу: плюс ставится перед р (или Р). Формулы (24.3.6), (24.3.7) определяют контактное преобразование при условии, что функция U принадлежит к классу C3, в остальном же она произвольна, если не считать требования, чтобы матрица (d2U/dxr dXs) была неособенной (см. § 24.2).
Практически наиболее часто встречаются случаи, когда в качестве переменных X и X берутся р и Q или q и Р. В первом из этих случаев преобразование определяется формулами (24.3.3), (24.3.4), которые можно записать в эквивалентной форме
ь=ж* Рг^Ж' (24-3-9)
причем R = —dWldt. (Единственное преимущество формы (24.3.3), (24.3.4), со знаком минус в правой части, заключается в том, что при этом сохраняется соотношение R = -\-dUldt, что, конечно, совершенно несущественно в случае, когда преобразование не содержит t.) Во втором случае преобразование определяется уравнениями
* = ^ = Ж/ (24-ЗЛ0)
причем RdUIdt.
С точки зрения абстрактной теории обычно несущественно, в какой именно форме записаны уравнения преобразований. Действительно, различные формы этих уравнений тесно связаны друг с другом. Предположим, например, что мы переходим от переменных (с/, р) к переменным (Q, P) с помощью контактного преобразования, получаемого посредством производящей функции U (q\ Q; t) и определяемого формулами
Рг=Ж' Рг=~Ж' я=~ът- (24-зл1)
Рассмотрим затем контактное преобразование от переменных (Q, P) к переменным (Q', P'), описываемое формулами
Qr = P'r, P1.=:-Qr. (24.3.12)
Тогда переход от переменных (q, р) к переменным (Q', P') можно осуществить с помощью производящей функции U (q; P'; t) по формулам
dU т dU с dU /о/ о <оч
*=Ж' Qr=-dPT' R=-af (24ЛШ)
Отсюда легко установить связь между первой группой формул (24.2.7) — (24.2.9) (где производящая функция содержит q и Q) и последней группой (24.3.10) (где производящая функция содержит q и P).
Сделаем еще одно замечание, касающееся теоремы Гамильтона — Якоби. Мы видели (§ 16.2), что если S (q; a; t) представляет собой полный интеграл уравнения в частных производных Гамильтона, то решение задачи Лагранжа можно получить из п уравнений
4^ = const. (24.3.14)
Постоянную в правой части мы ранее обозначали через —?r (см. (16.2.4)). Уравнения (24.3.14) показывают, что преобразование переменных (q0; р0) в переменные (а; ?) является контактным преобразованием; при этом естественно считать аг лагранжевой координатой, а ?r — соответствующей составляющей импульса. Если же постоянную в правой части (24.3.14) принять равной +?r> то контактным преобразованием будет преобразование переменных (q0; Po) в переменные (?; а), и ?r будет играть роль лагранжевой координаты, а аг — составляющей импульса. Поэтому, если мы желаем, чтобы правая часть (24.3.14) выражалась координатой, а не импульсом, то мы должны эту постоянную положить равной +?r- В теории движения планет, например, постоянные в правых частях уравнений (24.3.14) обычно имеют смысл углов и ? естественно считать координатами, а не импульсами; тогда уравнения следует записывать в форме
