Аналитическая динамика - Парс Л.А.
Скачать (прямая ссылка):
IL (24ЛЛ1)
определяют в общем случае некоторое контактное преобразование. (В следующем параграфе мы укажем условие, которому должна удовлетворять функция S.)
Ранее (в § 15.8) нам уже представлялся случай для перехода к новым параметрам (аи а2, . . ., а„; ?i, ?2, • • ., ?n), являющимся функциями от переменных q0 и р0 и связанным с ниади однородным контактным преобразованием, так что
?r dar = рг0 dqro. (24.1.12)
Численные значения параметров а и ? определяют орбиту в фазовом пространстве так же, как и значения параметров q0 и р0. Преобразование переменных (а; ?) в переменные (q; р) представляет произведение двух контактных преобразований. В самом деле, имеем
Pr dqr = ?r dar + H' dt + dS', (24.1.13)
где штрихи означают, что соответствующая величина выражена через q, ant. Некоторые замечания относительно двух формул dSI'dqr и dS'/dqr, выражающих каждая рг, нами уже были сделаны в § 15.8, п. 4.
§ 24.2. Формулы контактного преобразования. Рассмотрим преобразование переменных
Qu Qz, ¦ ¦ •> Qn, Pi, Pz, • ¦ -, Pn
к переменным
Qi, Qz, • • •> Qn, Pi, Pz, • ¦ Рп,
определяемое уравнениями
Qr = 4>r(Qi, Qz, ¦ ¦ ., Qn; Pi, Pz, . ¦ ., Рп, t), г = 1, 2, . . ., п, (24.2.1)
Рт = (Pn+r (Qi, Qz, ¦ ¦ ., Qn, Pu Pz, ¦ ¦ ; Рп, t), г = 1, 2, . . ., п. (24.2.2)
Эти формулы мы часто будем записывать в следующей компактной форме:
Qr = Фг (<?; р; t), Рг = Фп+г (q; р; t).
Функции ф принадлежат к классу C2, когда переменные (д, р) лежат в области D, а переменная t находится в некотором интервале /. Для каждого значения t в интервале / уравнения преобразования определяют топологическое отображение области D на область Et пространства (Q; Р); при этом преобразование допускает обращение, а именно:
Qr=^r(Q; Р; t), (24.2.3)
Pr = г|)„+г (Q; Р; t). (24.2.4)
Эти формулы справедливы при условии, что точка (Q, P) лежит в области Et, a t — в интервале /. В частном случае, рассмотренном в § 24.1, функции ф и гр определялись движением определенной динамической системы; теперь мы не будем делать никаких предположений подобного рода. Действительно, во многих важных для практики случаях функции ф и г|), входящие в формулы (24.2.1), (24.2.2) и (24.2.3), (24.2.4), не содержат t. Простым примером контактного преобразования такого типа могут служить формулы (24.1.1), (24.1.2), ,,если величину t считать в них постоянной. В дальнейшем, при исследовании задачи трех тел (гл. XXIX), мы встретимся со многими другими примерами подобных преобразований, уравнения которых не содержат t.
490
КОНТАКТНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ
[Гл. XXIV
Предположим теперь, что преобразование, заданное формулами (24.2.1), (24.2.2), является контактным. Возьмем пфаффову форму Рт dQr и выразим ее через переменные (q; р; t) с помощью формул (24.1.1), (24.1.2). Проделав это, будем иметь
P1. dQr = рг dqT + R dt — dW, (24.2.5)
где RaW — функции от (q; р; t). Рассмотрим два возможных случая: 1) Если якобиан
а<ф1'ф2' •¦•'^ (24.2.6)
о (Pi, Рг, Pn) v ;
не обращается тождественно в нуль, то уравнения (24.2.1) можно разрешить относительно pi, р2, . . ., рп, выразив их через (q; Q; і); функции і? и И7 также можно представить в зависимости от (q; Q; t). Между переменными q, Q и t не существует никакого тождественного соотношения, и контактное преобразование задается формулами
^ = Ir• г=1,2, и, (24.2.7)
dW
Рг=-Ж' г =1.2. •••>*, (24.2.8)
R = ^W* (24.2.9)
где теперь символы R и W обозначают функции от переменных (q; Q] t) и функция W ? C3 в соответствующей области пространства (q; Q; t). Формулы (24.2.7) и (24.2.8) определяют контактное преобразование посредством производящей функции W {q; Q] t).
Обратно, если дана произвольная функция W (q; Q] і), то уравнения (24.2.7) и (24.2.8) определяют контактное преобразование при условии, что матрица
не является особенной. Действительно, в этом случае уравнения (24.2.7) можно разрешить относительно переменных Q, выразив последние через (q; р; t); в результате мы придем к формулам (24.2.1). Подставляя полученные выражения для Q в (24.2.7), мы тождественно удовлетворим этим равенствам, следовательно,
JT--!^ = Sr™. (24.2.11)
dQsdqr dpm v '
Таким образом, матрица, обратная неособенной матрице (24.2.10), равна (d(fr/dps) и, стало быть, сама является неособенной матрицей. Поэтому якобиан (24.2.6) не равен нулю, откуда следует, что формулы (24.2.7) и (24.2.8) определяют контактное преобразование.
2) Если якобиан (24.2.6) тождественно равен нулю, то существует по крайней мере одно тождественное соотношение, связывающее переменные <?, Q и t. Предположим сначала, что матрица (d(pr/dps) имеет ранг (п — 1). Тогда между этими переменными имеется одно и только одно тождественное соотношение; запишем его в форме
Q (Qu Q2, ¦ ¦ Qn; Qu Q2, . . Qn] t) = 0. (24.2.12)
Теперь функции R и W будут выражаться через переменные (q, Q, t) уже не единственным образом и, следовательно, формулы (24.2.7) — (24.2.9)
§ 24.3]
ДРУГИЕ ФОРМУЛЫ
