Аналитическая динамика - Парс Л.А.
Скачать (прямая ссылка):
в) су
и
Рис. 97.
Рис. 98.
изображающая точка остается в полосе между кривыми L и L'. Она движется почти что вдоль кривой L, пока не приблизится к крайней точке В | -g- ц., 1 j , после чего перемещается почти что по вертикали вниз, пока вновь не достигнет кривой L. После пересечения с этой кривой вблизи точки С (4^' ~~изображающая точка опять почти что следует вдоль
кривой?,пока не достигнет ближайшей окрестности точкио^— -|-р,, —lj. Затем она, двигаясь почти вертикально, снова достигает кривой L вблизи точки A ^--|-p., . В результате при больших значениях р, предельный цикл оказывается весьма близким по форме к кривой ABCD, состоящей из двух вертикальных отрезков и двух дуг кривой L.
Изменение у в зависимости от t в периодическом движении на предельном цикле показано на рис. 98. Время прохождения почти вертикальных участков мало, и так как dt = dx/y, то период а приближенно можно выразить следующей формулой:
В 2
<т = 2 j -і Ar = 2 ^ -^(2/2-I)Ay = U. (3 — 2 In 2). (20.9.6)
А 1
Таким образом, приближенно а равно 1,6 р.. Таково приближенное значение периода предельного периодического ,движения, описываемого уравнением В,ан-дер-Поля.
Г л ¦cu в а XXI
СИСТЕМЫ С П СТЕПЕНЯМИ СВОБОДЫ. СВОЙСТВА ХАРАКТЕРИСТИК
§ 21.1. Интегралы системы дифференциальных уравнений. Теперь, после того как мы изучили основные свойства автономной системы второго порядка (т = 2), перейдем к системе общего вида
хТ = ХТ {хи хг, . . ., хт; t), г = 1, 2, . . ., т. (21.1.1)
Известны многие интересные и важные свойства характеристик этих уравнений; некоторые из них мы рассмотрим в этой главе. Однако, как мы уже отмечали, случай произвольного т (даже в предположении автономности системы) изучен менее подробно, чем случай системы второго порядка, рассмотренный в двух предыдущих главах.
Число т равно удвоенному числу степеней свободы системы (т = In). Сначала мы будем предполагать, что все переменные вещественны, но позже мы иногда будем считать их комплексными. Часто бывает удобным уравнения записывать в форме (19.1.4):
= = ... =s LnL — dt. (21.1.2)
Ai A2 Am
Решения этих уравнений имеют вид
Xr = Фг (t; ссу, сс2, . . ., ат; т), г = 1, 2, . . ., т, (21.1.3)
где а есть вектор х при t = т. Как уже указывалось, чем точнее определить функции Хг, тем полнее можно представить решения уравнений (§ 19.1). Функции ХТ будем считать принадлежащими к классу Ci в некоторой области R пространства X1, х2, ¦ . ., хт, t. Отсюда следует, что решения фг обладают соответствующими свойствами дифференцируемое™. Иногда мы будем делать более сильные предположения. В частности, в некоторых случаях будем считать Хг аналитическими функциями от т -}- 1 комплексных переменных X1, х2, . . ., хт, t в некоторой области их изменения; тогда соответствующие решения будут аналитическими функциями от т + 2 комплексных переменных t, а4, а2, . . ., ат, т в определенной области пространства.
Наиболее важным и чаще всего встречающимся случаем является случай автономной системы, когда функции ХТ не зависят от t:
Хт = Xr [х{, х2, . . ., xm), г = 1, 2, . . ., т. (21.1.4)
Предполагается, что эти функции по крайней мере имеют непрерывные первые производные в области D пространства переменных X1, х2, . . ., хт. Можно без потери общности положить т = 0, так что а будет обозначать вектор X в момент Z=O. Если изображающая точка начинает свое движение в момент t = 0 из положения а области D, то в момент t (если | t \ не слишком велико) она достигнет точки х этой же области, и соответствующая характеристика будет определяться уравнениями типа (19.1.10):
хг = фг (I; CC1, а2, ¦ . ., am), г = 1, 2, . . ., т. (21.1.5)
Траектории изображающей точки, т. е. проекции характеристик на х-пространство, представляют дуги силовых линий поля. Эти кривые
26 Л. А. Парс
402 СИСТЕМЫ C п СТЕПЕНЯМИ СВОБОДЫ. СВОЙСТВА ХАРАКТЕРИСТИК [Гл. XXI
определяются уравнениями
(21.1.6)
dx\ _ dx2 _ dir,
Xt Xn '' Xrr
Если a — обыкновенная точка области D, то через нее проходит одна-единственная траектория, по крайней мере в некоторой окрестности а; если же а — особая точка, то она сама и будет траекторией; однако возможен случай, когда через а проходит множество силовых линий (см. рис. 75—77). Решение задачи о нахождении характеристик можно разбить на два этапа: сначала определить траектории, а затем искать зависимость между положением изображающей точки на траектории и временем t. Если траектории известны, то второй этап не представляет трудностей, по крайней мере в теоретическом отношении (см. начало § 19.1 и окончание § 21.2).
Разрешая уравнения (21.1.5) относительно Gt1, а2, . . ., сст, получаем
-Cr = фг (—t; хи х2, . . хт), г = 1, 2, . .., т. (21.1.7)
Свойство обратимости функций фг, обнаруживаемое из равенств (21.1.5) и (21.1.7), является важным отличительным свойством автономных систем.
Возвратимся теперь к общему (неавтономному) случаю и рассмотрим функцию / (Z1, х2, . . ., хт; t), принадлежащую к некоторой области класса C1 и обладающую тем свойством, что она остается постоянной в силу дифференциальных уравнений (21.1.1). Иными словами, при движении изображающей точки в соответствии с дифференциальными уравнениями имеет место соотношение
