Аналитическая динамика - Парс Л.А.
Скачать (прямая ссылка):
X2
X(Q= - j F(y)dx>Q. (20.8.8)
X1
2) Выберем Q и ?2 так, чтобы ?2>Q>&. Пользуясь обозначениями рис. 94, напишем
Bi ъ
-^F (у) dx=-^F (у) -J- dy. (20.8.9)
Ai о
398
ЦИКЛИЧЕСКИЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ
[Гл. XX
Вдоль траектории имеем
dx
dy
-x-F(y)
(20.8.10)
Правая часть равенства в точках P1 и P2 положительна, причем в точке P2
значение ее меньше, чем в точке P1:
Отсюда
Рис. 94.
B2 Bi
-^F(y)dx<-\)F(y)dx. (20.8.12)
Az Ai
Рассуждая аналогичным образом, получаем, что
D2 Dl
F(y)dx<-^F(y)dx. (20.8.13)
Остается сравнить интегралы, взятые вдоль дуг S1C1 и B2C2. На этих дугах F(y)>0 и
C2 С2 C1
j F (у) dx > ^F (у) dx > j /¦(iOdr,
(20.8.14)
ибо при у>Ъ функция F(у) монотонно возрастает вместе с у. Таким образом,
D2 D1
Az Ai
(20.8.15)
что завершает доказательство второго утверждения.
3) Перейдем теперь к большим значениям ?. Доли, которые вносят дуги
A2B2 и C2D2 в значение интеграла — J F (у) dx, положительны и ограничены,
а доля дуги B2C2 при ? -> оо стремится к минус бесконечности. Для доказательства выберем фиксированное число с > Ь, и пусть линия у = с пересекает дугу Cj2 (при ?2 > с) в точках M2 и JV2- Тогда
C2 IV2
j F (;/) > j F(у) dx>F (с) M2N2 (20.8.16)
B2 M2
и длина отрезка M2N2 стремится к бесконечности вместе с ? (ибо для любой заданной точки на линии у = с мы можем найти проходящую через нее траекторию). В результате получаем, что К (Q -»-—оо, когда ?—>-оо.
Мы доказали таким образом, что функция К (?) обращается в нуль при одном-единственном положительном значении ? и, следовательно, существует лишь одна циклическая траектория Г. При t —>¦ оо любая положительная полухарактеристика стремится к Г. Начало координат представляет собой неустойчивую особую точку, и всякая траектория, начинающаяся внутри области, ограниченной кривой Г, стремится к этой кривой изнутри. Для траектории, начинающейся вне указанной области, имеем х2 < (—Z1),
§ 20.9]
УРАВНЕНИЕ ВАН-ДЕР-ПОЛЯ
399
и при t оо эта траектория стремится к предельному циклу. Но предельным циклом может быть только кривая Г, поскольку других циклических траекторий не существует.
Существование единственного предельного цикла, к которому стремятся все положительные полухарактеристики, нами было доказано для уравнений первого порядка, получаемых из уравнения (20.8.1). Это остается в силе и для уравнения (20.7.6) и, в частности, для уравнения Ван-дер-Поля (20.7.5).
§ 20.9. Уравнение Ван-дер-Поля. Изучение теоремы Пуанкаре — Бен-диксона мы закончим рассмотрением уравнения Ван-дер-Поля (20.7.5)
X + Ll (х2 — 1) X + X = О,
Ll
О,
(20.9.1)
к которому применим изложенную выше теорию. Уравнение, соответствующее (20.7.7), имеет вид
x + \i (jx3 — і) +х = 0, (20.9.2)
а эквивалентная система уравнений первого порядка записывается в виде
Х = У, У= — х — И (уУ3 — у) • (20.9.3)
Эта система, как мы знаем, обладает одним-единственным предельным циклом. Движение, описываемое уравнением (20.9.2), стремится к некоторому периодическому колебанию.
Представляется интересным приближенно определить форму предельного цикла в двух крайних случаях, когда р, очень мало и когда р, очень велико.
1) Если и. очень мало, то уравнение (20.9.2) почти не отличается от уравнения гармонического движения. Если бы (х равнялось нулю, то траекториями для системы
(20.9.3) были бы окружности; если же и очень мало, то единственная оставшаяся циклическая траектория будет весьма близка к окружности. Радиус R этой окружности можно найти
У
(С
Рис. 95.
Рис. 96.
из энергетических соображений (см. (20.8.6)); интеграл ^ F (у) dx за полный период должен быть равен нулю. Таким образом,
1 {т у3~у)dx=0' (20'9,4)
Интеграл здесь берется вдоль полуокружности радиуса R в верхней полуплоскости. Радиус R почти кругового предельного цикла получается равным двум. Это есть амплитуда колебания для х (а также для у). Траектории имеют вид спиралей, медленно приближающихся к предельному циклу (рис. 95); движение по координате х представляет почти гармоническое колебание с амплитудой, медленно возрастающей (или убывающей) до значения, равного двум (рис. 96).
2) Если р. имеет очень большое значение, то форму предельного цикла приближенно можно определить из геометрических соображений. В точках кривой L,
(20.9.5)
400
ЦИКЛИЧЕСКИЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ
[Гл. XX
поле F имеет горизонтальное направление. По мере удаления от кривой L направление поля быстро приближается к вертикальному (поскольку ц. велико), причем слева от L вектор F направлен вверх, а справа от і — вниз. Если изображающая точка начинает свое движение из точки R слева от кривой L в верхней полуплоскости (рис. 97), то сначала
она движется почти вертикально вверх, а затем, приблизившись к кривой L, — почти горизонтально. В точках кривой L' (получаемой из кривой L сдвигом ее вправо на небольшое расстояние) вектор поля F принимает почти вертикальное направление (вниз), и
