Аналитическая динамика - Парс Л.А.
Скачать (прямая ссылка):
о
книге мы ограничимся, однако, рассмотрением лишь частного случая, когда g (х) = х.
396
ЦИКЛИЧЕСКИЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ
[Гл. XX
(хг,0)
Существование предельного цикла будет доказано, если будет найдена замкнутая кривая, охватывающая точку О, которая обладает тем свойством, что вектор F в каждой ее точке направлен внутрь области, ограничиваемой этой кривой. При этом, как и в § 20.6, существование предельного цикла будет следовать из теоремы Пуанкаре — Бендиксона. Однако, мы приведем здесь другое доказательство, которое одновременно будет гарантировать и единственность решения.
Направление поля в каждой точке можно определить с помощью графического построения, подобного тому, которым мы пользовались в § 19.8. Изобразим на чертеже кривую L, определяемую уравнением
X = —F (у). (20.8.3)
Направление поля в любой точке А найдется тогда из следующего построения. Проведем через точку А горизонтальную прямую, она пересечет кривую
L в точке В. Вертикальная прямая, проходящая через точку В, пересечет ось Ox в некоторой точке N. Тогда вектор поля в точке А будет направлен перпендикулярно к отрезку NA.
Теперь легко представить общий характер поля. В точках верхней полуплоскости горизонтальная составляющая P направлена вправо, а в точках нижней полуплоскости — влево. Слева от кривой L вертикальная составляющая Q направлена вверх, а справа от нее — вниз. На кривой L поле горизонтально, а на оси Ox — вертикально.
Рассмотрим теперь траекторию, проходящую через произвольно выбранную начальную точку (х0, у0). Пусть для определенности эта точка располагается в верхней полуплоскости слева от кривой L. Точка (X1, 0) на отрицательной полуоси X соединяется дугой траектории с точкой (х2, 0) на положительной полуоси х. Эта дуга в верхней своей точке пересекается с кривой L. В этой точке ордината траектории достигает значение ?, затем траектория снижается (рис. 93). Это почти что очевидно из общего характера поля, но нужно дать и формальное доказательство. Когда изображающая точка удаляется от точки (х0, г/0), координаты х и у возрастают, так что х ^ у0 > 0 и изображающая точка пересекает линию L. При пересечении производная
у изменяет знак с положительного на отрицательный, так как
У = -У-1 (У) У (20.8.4)
и в точке пересечения у = —? < 0. Изображающая точка может пересечь кривую L только один раз в верхней полуплоскости (поскольку пересечение должно происходить слева направо), и траектория ее не может касаться кривой L, так как в точке на кривой L касательная к траектории горизонтальна. Поэтому горизонтальное смещение точки от кривой L, равное х + F(у), никогда не обращается в нуль, если оно уже достигло положительного значения. С другой стороны, X + F (у) = —у, так что спустя небольшое время т
"1 1
после пересечения будем иметь у -< — у ?т, X + F (у) > у ?т > 0. На той
части траектории, которая расположена справа от L, производная у < 0 не принимает нулевого значения, и изображающач точка достигает оси Ох.
Рис. 93.
§ 20.8]
СУЩЕСТВОВАНИЕ ПРЕДЕЛЬНОГО ЦИКЛА
397
После пересечения с осью Ox траектория продолжается в нижней полуплоскости и снова пересекает кривую L, а также отрицательную полуось х.
Рассмотрим теперь дугу траектории, проходящую в верхней полуплоскости и соединяющую точку (X1, 0), Xi < 0, с точкой (х2, 0), х2 > 0. Эта дуга определяется ординатой ? наивысшей точки (в которой она пересекается с кривой L). Обозначим эту дугу через и будем считать X1 = X1 (Q1 X2 = = х2 (Q. Функции X1 (Q и X2 (Q монотонны (так как траектории не пересекаются) и изменяются в зависимости от ? непрерывным образом: при возрастании Х> от О Д° 00 функция X1 изменяется от 0 до —оо, а функция х2 — от О до -г оо.
Если теперь заменить х на —х, а у на —у, то уравнения не изменятся; поэтому кривая, симметричная дуге Cz относительно начала О, также является дугой траектории. Отсюда следует, что траектория является циклической в том и только в том случае, когда х2 = —X1.
Возвращаясь теперь к уравнениям х = P, у = Q, где P и Q определяются формулами (20.8.2), находим
хт+ уу = -F (у) у = -F (у) х. (20.8.5)
Следовательно,
а{\(х*+у*)) = -F(y)dx. (20.8.6)
Мы получили, как легко видеть, уравнение энергии в третьей форме (см. § 3.5). Интегрируя вдоль дуги Ci, получаем
X2
1(х--х2)= - j F(y)dx. (20.8.7)
X2
Обозначим для краткости интеграл — j F (у) dx через Я (Q. Тогда можно
утверждать, что мы будем иметь циклическую траекторию тогда и только тогда, когда X(Q = 0.
Покажем, что функдия X (Q обращается в нуль лишь при одном положительном значении Q Докажем сначала справедливость следующих положений:
1) если ? < Ъ, то X(Q > 0;
2) если t,2 > Q > Ъ, то X (?2) < X Hi), так что с ростом ?, (при ? > Ъ) функция X(Q монотонно убывает;
3) при ? -> оо Я (Q ->• —оо.
Из этих утверждений будет вытекать, что функция Я (Q лишь один-единственный раз принимает нулевое значение. Перейдем к их доказательству.
1) Если ? < Ъ, то вдоль кривой C^ у <. Ъ и F (у) <. 0. Отсюда