Аналитическая динамика - Парс Л.А.
Скачать (прямая ссылка):
Пусть q — точка кривой Л, S — отрезок без контакта, проходящий через точку ?, a Pn, Pn+1 — две последовательные точки пересечения кривой С с отрезком S, соответствующие заданному (достаточно большому) значению га. Рассмотрим кольцевую область,
§ 20.6]
ТЕОРЕМА ПУАНКАРЕ — БЕНДИКСОНА
393
ограниченную снаружи кривой Л, а изнутри — простой замкнутой кривой, составленной из дуги pnpn+i кривой С и отрезка pn+iPn прямой S (рис. 92). При достаточно большом п эта область не имеет особых точек, так что положительная полухарактеристика С, начинающаяся из точки P0 внутри этой области, в ней и остается. По мере того как кривая С стремится к Л, кривая С стремится к тому же предельному циклу. В самом деле, последовательные точки пересечения С с отрезком S лежат в интервалах pnpn+i, pn+iPn+2, Рп+2Рп+з, ¦ ¦ ¦, так как две траектории не могут пересечься одна с другой. Следовательно, при t ->- оо кривая С стремится к Л.
4) Если к предельному циклу Л изнутри стремится положительная полухарактеристика, то к нему не может изнутри стремиться отрицательная полухарактеристика. Рассмотрим, как и в п. 3), отрезок без контакта S, проходящий через точку д кривой Л. Последовательные точки пересечения pi, р2, Рз, ¦ ¦ ¦ положительной полухарактеристики с отрезком S стремятся к точке q, и, стало быть, последовательные точки пересечения отрицательной полухарактеристики удаляются от точки q. В этом случае предельный цикл Л называется устойчивым изнутри.
5) Если существует циклическая траектория Г такая, что изнутри к ней не приближается ни положительная, ни отрицательная полухарактеристика, то в области, ограниченной кривой Г, и вблизи нее проходит еще одна циклическая траектория.
Для доказательства рассмотрим точку q на кривой Г и отрезок без контакта S, проходящий через эту точку. Пусть P0 — точка на отрезке S, лежащая внутри области, ограниченной Г, вблизи от q. Рассмотрим положительную полухарактеристику, начинающуюся в точке р0. Изображающая точка либо возвращается в первоначальное положение р0, и тогда теорема доказана, либо попадает на отрезок S в некоторую точку pi. Если эта точка лежит между р0 и q, то следующая точка пересечения р2 окажется между р4 и q, и т. д. Последовательность [рп } будет сходиться к предельной точке, расположенной на отрезке paq. Этой предельной точкой не может быть точка q, ибо тогда проходящая через точку р0 положительная полухарактеристика стремилась бы к траектории Г, что по условию не имеет места. Поэтому точки рп стремятся к пределу I, заключенному между P0 и q, а траектория стремится к предельному циклу Л, проходящему через точку I. (Если точка pi не лежит между Po и q, то следует воспользоваться отрицательной полухарактеристикой, проходящей через точку р0.)
6) Рассмотрим случай, когда Г является циклической траекторией и в ограничиваемой ею области имеется одна особая точка р0, которая является узлом или фокусом. Возьмем точку q вблизи от р0. Если особая точка неустойчива, то положительная полухарактеристика, начинающаяся в точке q, не может стремиться к точке р0. Следовательно, она должна стремиться к предельному циклу, который либо совпадает с Г, либо является другой циклической траекторией, расположенной внутри области, ограниченной кривой Г. Отрицательная полухарактеристика, начинающаяся в точке q, при этом стремится к точке P0 и, возможно, входит в нее.
Если предельный цикд для положительной полухарактеристики, начинающейся в точке q, совпадает с самой кривой Г, то в области, ограниченной этой кривой, не может быть других циклических траекторий. В противном случае положительная полухарактеристика, начинающаяся в q, стремилась бы к одной из них, а не к Г. В этом случае Г называют наименьшей циклической траекторией, охватывающей точку р0. Из рассуждений, подобных тем, что мы проводили в п. 3), следует, что положительная полухарактеристика, начинающаяся в любой точке q', не совпадающей с р0 и лежащей внутри области, ограниченной кривой Г, стремится к этой кривой, тогда как отрицательная полухарактеристика, начинающаяся в q', стремится к точке р0.
Аналогичное положение имеет место и тогда, когда точка р0 устойчива. В этом случае положительная полухарактеристика, начинающаяся в точке q', стремится к точке P0, а соответствующая отрицательная полухарактеристика стремится к Г.
7) В других возможных случаях может иметься конечное число циклических траекторий, охватывающих одну особую точку р0, или счетное множество циклических траекторий. Как мы видели, если р0 есть особая течка типа центра, то все траектории могут быть циклическими.
Если точка р0 окружена конечным числом циклических траекторий и является неустойчивой, то наименьшая циклическая траектория, охватывающая р0, должна быть устойчива изнутри. В исключительном случае она может оказаться полуустлйчивой, т. е. устойчивой изнутри и неустойчивой снаружи. Этот последний случай встречается очень редко, и, как правило, наименьшая циклическая траектория устойчива, т. е. устойчива с обеих сторон. В общем случае последовательные циклические траектории либо устойчивы, либо неустойчивы.
