Аналитическая динамика - Парс Л.А.
Скачать (прямая ссылка):
Докажем теперь, что С = А. Предположим противное: пусть E — множество точек, принадлежащих Л и не лежащих на С". Множества Л и С" замкнуты, а множество E открыто; поэтому существует предельная точка q множества Е, которая не лежит в Е. Но точка q лежит в Л, так как это множество замкнуто, следовательно, g ? С". Рассмотрим теперь отрезок без контакта S', проходящий через точку q (которая является обыкновенной точкой и лежит на С). Пусть р' — точка множества Е, лежащая достаточно близко от точки q. Тогда р' будет обыкновенной точкой и проходящая через нее характеристика будет пересекать отрезок S' в точке q', которая будет отлична от q, так как характеристики не пересекаются. Но q ? Л, так как р' Є Л, и, следовательно, вся характеристика, проходящая через точку р', принадлежит множеству Л. Таким образом, отрезок •S" содержит две различные точки q и q', принадлежащие множеству Л, а это, как мы видели, невозможно. Следовательно, множество E должно быть пустым и С == А. Множество Л сводится к циклической траектории.
392
ЦИКЛИЧЕСКИЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ
[Гл. XX
Если траектория С циклическая, то С = Л. Пусть С — не циклическая траектория. Рассмотрим отрезок без контакта S, проходящий через точку р множества Л. Последовательность точек пересечения ри р2, Рз, ¦ • • кривой С с отрезком S сходится к точке р (§ 20.4), так что С представляет спираль, приближающуюся к множеству Л при і-> оо. В этом случае циклическая траектория Л называется предельным циклом.
Остается рассмотреть исключительный случай, когда множество Л не сводится к особой точке, но таково, что каждая траектория, полностью лежащая в Л, обладает тем свойством, что ее положительное предельное множество является особой точкой и ее отрицательное предельное множество является особой точкой. В этом исключительном случае множество Л является псевдоциклической траекторией, т. е. представляет собой замкнутую кривую, составленную из траекторий, каждая из которых начинается и заканчивается в особой точке. Эти особые точки являются седловыми. Простейшим случаем псевдоциклической траектории является тот, когда одна траектория выходит из седловой точки и возвращается в нее. В другом простом случае имеются две различные седловые точки, которые соединяются двумя различными траекториями. Выше были приведены примеры обоих этих случаев: сепаратриса на рис. 89 дает пример первого случая, а сепаратриса на рис. 83 — пример второго случая.
§ 20.6. Теорема Пуанкаре — Бендиксона. Результаты, полученные выше, можно представить в виде следующей теоремы. Рассмотрим ограниченную положительную полухарактеристику С, расположенную в области D, и предположим, что положительное предельное множество А этой полухарактеристики не сводится к особой точке. Тогда либо полухарактеристика С является циклической и А = С, либо А представляет собой циклическую траекторию (в исключительном случае псевдоциклическую) и С является спиралью, приближающейся к А, когда tоо.
Рассмотрим некоторые дополнительные результаты, имеющие отношение к теореме Пуанкаре — Бендиксона. Подробного и полного исследования мы проводить здесь не будем, так как это увело бы нас далеко в сторону. Напомним, что мы рассматриваем силовое поле, определенное в § 19.3, в котором имеются лишь изолированные особые точки, в каждой из которых д (P, Q)Id (х, у) Ф 0.
1) Выше мы видели, что положительное предельное множество траектории С может состоять из одной-единственной особой точки I и при t оо траектория стремится к I или, возможно, входит в нее. Этот результат можно трактовать как частный случай теоремы Пуанкаре — Бендиксона, если особую точку I рассматривать как вырожденную форму предельного цикла.
2) Если существует замкнутая область R, не содержащая особых точек и такая, что в каждой точке ее границы вектор поля F направлен внутрь области, то в такой области имеется по крайней мере одна циклическая траектория. (Предполагается, что граница области состоит из кривых с непрерывно изменяющимся наклоном касательной, за исключением конечного числа угловых точек.) В самом деле, любая положительная полухарактеристика, начинающаяся в области R, остается в этой области и при t ^ 0; эта положительная полухарактеристика либо является циклической, либо стремится к предельному циклу. К тому же выводу мы приходим и в том случае, когда во всех точках границы вектор поля F направлен наружу. Для доказательства достаточно рассмотреть отрицательные полухарактеристики, начинающиеся в точках области R. Из сказанного, разумеется, не следует, что в области R имеется лишь одна циклическая траектория. (Область R не может быть односвязной. Если бы, например, область R состояла из простой замкнутой кривой Г и ограничиваемой ею области, а вектор Fb каждой точке Г был бы направлен внутрь этой области, то индекс (§ 20.1) кривой Г был бы равен единице, так что в области была бы по крайней мере одна особая точка.)
3) Предположим, что положительная полухарактеристика С представляет собой спираль, которая стремится изнутри к предельному циклу Л. Если р0 — любая точка внутри Л и достаточно близкая к Л, то положительная полухарактеристика, начинающаяся в точке р0, стремится к Л. Докажем это.
