Аналитическая динамика - Парс Л.А.
Скачать (прямая ссылка):
Мы уже отмечали выше, что свойство 1) справедливо для циклической характеристики. Пусть теперь С не является циклической. Рассмотрим множество точек р (1), р (2), р (3), ... Оно является бесконечным и ограниченным, причем все элементы его различны и существует по крайней мере одна
25*
388
ЦИКЛИЧЕСКИЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ
[Гл. XX
предельная точка, которая является Л-точкой С. Доказательство свойства 2) аналогично доказательству известного факта, что производное множество заданного множества является замкнутым.
Для доказательства свойства 3) нужно показать, что Л не может состоять из двух (или более) непустых замкнутых множеств, не имеющих общих точек. Предположим противное: пусть Л состоит из двух не связанных между собой непустых множеств А и В. Тогда эти множества отделены друг от друга; обозначим расстояние между ними через б. Пусть точка а принадлежит множеству А, а точка Ъ — множеству В. Возьмем любое положительное число t0. Тогда можно указать такое число Z1, большее чем Z0, чтобы выполнялось неравенство
d{a,p(tj}<±6,- (20.2.3)
а также такое число t2, большее чем Z1, чтобы выполнялось неравенство
d{b, p(t2)}<±o. (20.2.4)
Из неравенства (20.2.3) следует, что
d{p(td,A}<±b, (20.2.5)
и, следовательно, и
Аналогично так что функция
d{p(tl), В} > і- б (20.2.6)
d {р (Z1), А) - d {р (Z1), В} < 0. (20.2.7)
d{p(t2), A}-d{p(t2), В} > 0, (20.2.8)
ср (Z) = d{p (t), A}-d {р (Z), В} (20.2.9)
отрицательна при I1 и положительна при Z2. В силу непрерывности функции ср U) существует такое число 0, лежащее между Z1 и t2, для которого ср (0) = 0. При любом выборе Z0 можно указать такое 0, большее Z0, для которого
d {р (0), A) = d {р (0), В). (20.2.10)
Таким образом, можно построить возрастающую последовательность 01, 027 93, . . ., стремящуюся к бесконечности и обладающую тем свойством, что
d {p(Qn), A) = d{p(Qn), В}. (20.2.11)
Пусть ро — предельная точка множества {р (Qn)}; тогда р0 6 Л и
d (р0, A) = d (ро, В). (20.2.12)
Однако последнее равенство невозможно, так как точка р0 принадлежит либо множеству А, либо множеству В. Итак, предполоя^ение о том, что А состоит из двух отдельных множеств, привело к противоречию; аналогично доказывается, что А не может состоять из нескольких множеств. Таким образом, А является непустым замкнутым связным множеством.
Наконец, чтобы доказать свойство 4), обозначим через р U) траекторию, выходящую из точки I, так что р (0) = I. Рассмотрим последовательность {tn}, монотонно возрастающую до бесконечности и такую, что Hm р Un) = I.
п-юо
Пусть t — заданное положительное или отрицательное число. Тогда
Hm р (Zn) = р(0) (20.2.13)
§ 20.3]
ОТРЕЗОК БЕЗ КОНТАКТА
389
и, следовательно,
lim p(tn + t) = p (t), (20.2.14)
так как решения дифференциальных уравнений для всех конечных t зависят непрерывным образом от начальных значений. Поэтому р (і) 6 Л для всех t, что и завершает доказательство.
Итак, резюмируя сказанное, можно утверждать, что если множество Л не состоит из одной-единственной особой точки, то оно является непустым замкнутым множеством, образованным из полных траекторий.
§ 20.3. Отрезок без контакта. Отрезком без контакта будем называть конечный замкнутый отрезок прямой, обладающий тем свойством, что ни в одной его точке нормальная к нему составляющая поля F не обращается в нуль. Иными словами, отрезок без контакта не касается ни одной траектории и не проходит ни через одну особую точку. Отрезок без контакта, проходящий через точку Jj0, представляет отрезок, для которого эта точка является внутренней. Ясно, что через всякую обыкновенную точку можно провести бесконечное число отрезков без контакта. Установим основные свойства таких отрезков.
1) Если положительная полухарактеристика С пересекает отрезок без контакта S больше одного раза, то она пересекает его всегда в одном и том же направлении. В самом деле, если бы С пересекала S в точках Pi и P2 с разных сторон, то нормальная составляющая вектора F имела бы в этих точках противоположные знаки, и так как она изменяется вдоль S непрерывным образом, то нашлась бы точка менаду Pi и P2, в которой нормальная составляющая F обращалась бы в нуль. Однако последнее невозможно, поскольку S является отрезком без контакта.
2) За конечный промежуток времени траектория С может пересекать отрезок S лишь конечное число раз. Предположим противное: пусть в промежутке a ^ t ^ В имеется бесконечное число моментов {tn} таких, что P Un) ? S. В этом случае никакие две точки р (tr), р (ts) не совпадают. Если бы такое совпадение имело место, то траектория либо представляла бы собой особую точку, лежащую на S, но это невозможно по условию, либо была бы циклической. В последнем случае траектория имела бы период о и число пересечений ее с отрезком S в интервале [ос, ?] было бы конечным. Таким образом, все точки р (tn) различны.
Значения {?„} имеют предельную точку t0, a ^ t0 ^ В, и р (t0) ? S. Можно выбрать точку tn как угодно близко к точке tQ, так чтобы хорда P (h) P (tn) стремилась принять направление касательной к траектории С в точке р (tQ). Тогда в точке р (t0) кривая С касалась бы отрезка S, но это невозможно в силу определения отрезка без контакта. Таким образом, предположение о том, что траектория за конечный промежуток времени пересекает отрезок без контакта бесконечное число раз, приводит к противоречию.
