Аналитическая динамика - Парс Л.А.
Скачать (прямая ссылка):
Понятие индекса встречается в теории функций комплексной переменной. Если регулярная функция / (z) определяется векторным полем F,
1 (z) = P + ІО, (20.1.3)
то индекс кривой Г равен числу N нулей функции / (z) (с учетом их кратности), расположенных внутри кривой Г. Если / (z) регулярна внутри Г и на ее границе, за исключением конечного числа полюсов внутри этой области, то индекс равен N — М, где M — число полюсов (с учетом кратности), расположенных внутри Г.
Нетрудно определить индекс для каждого типа особых точек, рассмотренных в предыдущей главе. Как и ранее, поместим начало координат в особой точке поля. Тогда будем иметь
P = ах + by + є, Q = сх + dy + ц, (20.1.4)
причем ad — be, значение J0 якобиана в точке О, отлично от нуля. Для
определения индекса можно вместо поля F рассматривать поле Z^0, так как угол г(з между F и F0 при приближении к точке О стремится к нулю (§ 19.6). Рассмотрим малый кружок у с центром в О и поле
P0 = ах+ by, Q0 = cx + dy. (20.1.5)
Отображение
(х, у) -> {P0, Q0), (20.1.6)
где (P0, Q0) интерпретируются как прямоугольные координаты на вспомогательной диаграмме, переводит круг у на плоскости ху в эллипс на плоскости (P0, Q0), причем если /0>0, то положительному направлению обхода круга соответствует положительное направление обхода эллипса, а если J0 <; 0 — отрицательное направление. Через J0 мы обозначили
/0 = ^^=Г4^1 . (20.1.7)
и д (х, у) Ld (х, у) J(o, 0) v '
Следовательно, при J0 > 0 индекс особой точки равен +1, а при J0 <; О равен —1. С другой стороны, J0 равно произведению собственных значений матрицы А (§ 19.4); это произведение положительно для узла, фокуса и центра и отрицательно для седла. Таким образом, индекс любой допустимой особой точки (при J0 ф0) равен ±1 (+1 для узла, фокуса и центра и —1 для седла),
Если замкнутая кривая Г лежит в односвязной области поля F без особых точек, то ее индекс равен нулю. В самом деле, такую кривую можно, не изменяя индекса, путем непрерывной деформации стянуть в точку. Если Г — простая замкнутая кривая, не имеющая на себе особенностей, а имеющая лишь допустимые изолированные особые точки внутри ограничиваемой ею области, то индекс для кривой Г равен сумме индексов охватываемых ею особых точек. Число особых точек в области, ограничиваемой кривой, должно быть конечным. При этом условии сформулированное утверждение легко
20.2]
ПОЛОЖИТЕЛЬНОЕ ПРЕДЕЛЬНОЕ МНОЖЕСТВО
387
доказать. Рассмотрим, например, кривую, изображенную на рис. 90. Индекс этой кривой равен нулю; с другой стороны, он равен индексу Г минус сумма индексов отдельных петель. Таким образом, индекс для кривой Г равен N — — S, где S — число седловых точек, a N — число особенностей других типов, содержащихся в области, ограниченной кривой Г.
В важном частном случае, когда Г является циклической траекторией, ее индекс равен единице (назависимо от того, совершается ли движение по ходу часовой стрелки или против). Таким образом, для циклической траектории
N-S = I. (20.1.8)
Отсюда следует, что не существует циклических траекторий, которые бы не охватывали особых точек или охватывали бы одни лишь точки типа седла. Простейшим является случай, когда в области, ограниченной циклической траекторией, имеется всего одна изолированная особая точка (отличная по типу от седла); в этом случае N = 1 и S = 0.
§ 20.2. Положительное предельное множество. Рассмотрим ограниченную положительную полухарактеристику С, расположенную в области D (§ 19.3). Будем отмечать положение изображающей точки на полухарактеристике С в момент t посредством вектора р (Z), р (Z) = {х (Z), у (Z)}, так что р (Z) ? D и I р (Z) I < К при Z>-0. Обозначим через I точку такую, что
I = lim р (tn), (20.2.1)
где последовательность {Zn} задается неравенствами
0 < Z1 < Z2 < Z3 ... (20.2.2)
и Zn -*¦ оо вместе С п.
Множество таких точек I называется положительным предельным множеством или множеством предельных точек для рассматриваемой траектории; обозначим его через Л. Точки Z множества Л называются Л-точками. Л-точки кривой С являются предельными точками (точками сгущения) этой кривой, но не все предельные точки С принадлежат к числу Л-точек.
Л-точка кривой С может лежать на этой кривой, а может и не лежать на ней. В некоторых простых случаях положительное предельное множество находится без труда. Если при Z -> оо р (Z) стремится к устойчивой особой точке ро, то Л = Po- Если полухарактеристика С циклическая, то каждая ее точка является Л-точкой и других Л-точек не существует. Таким образом, если С — циклическая полухарактеристика, то Л = С. В дальнейшем мы увидим, что во многих случаях множество Л само составляет циклическую траекторию, а С представляет собой спираль, приближающуюся к Л, когда Z стремится к бесконечности.
Рассмотрим теперь основные свойства положительного предельного множества Л. К ним относятся следующие свойства: 1) множество Л не является пустым; 2) множество является замкнутым; 3) множество является связным; 4) если I G Л, то вся траектория, проходящая через I (т. е. и положительная и отрицательная полухарактеристики, начинающиеся в точке I), принадлежит множеству Л.