Аналитическая динамика - Парс Л.А.
Скачать (прямая ссылка):
Рассмотрим теперь точные уравнения. Пользуясь формулами (19.10.2), запишем эти уравнения в полярных координатах:
г = хг, Q = у. (19.11.7)
Отсюда легко находится уравнение траектории: г = к sin 0. Положение точки на траектории в некоторый момент t определяется уравнением 6 = к sin2 6. Изображающая точка описывает окружность, касающуюся оси Ox в точке О; положение точки на окружности в момент t определяется уравнением
kt = ctg O0 — ctg Є. 19.11.8)
В конце концов точка возвращается в положение О, поскольку 6 монотонно возрастает и стремится к я, когда t ->- оо. Тем не менее особая точка не является устойчивой. В самом деле, в произвольной близости от точки О можно выбрать такую начальную точку, чтобы в последующем движении изображающая точка удалилась от точки О сколь угодно далеко; например, если 60 — малое положительное число, а 7-0 = l/sin 60, то к = l/"|/sin 60, т. е. очень велико.
Рассмотрим случай, когда траектория начинается в точке, лежащей на оси х. Если начальная точка имеет координаты {х0, 0), то характеристика определяется уравнениями
Если х0 > 0, то координата х монотонно возрастает и стремится к бесконечности, когда t стремится к ifх0. Если х0 < 0, то X монотонно убывает и стремится к нулю, когда t стремится к бесконечности.
Пример 19.11 С. Если отказаться от условия, что якобиан в особой точке не равен нулю, то утверждение о том, что неустойчивость по линейному приближению влечет за собой неустойчивость из точных уравнений, теряет силу. В качестве примера рассмотрим систему
X = у — xs, у = 0. (19.11.10)
Движение, определяемое линейным приближением, очевидно, неустойчиво. В то же время движение, определяемое точными уравнениями, является устойчивым. В самом деле, если в начальный момент у — у0, то у = у0 и в дальнейшем, а х при t ->- оо стремится к предельному значению уУ3 *).
*) См. подстрочное примечание в п. 9.9. {Прим перев.)
Глава XX
СИСТЕМЫ С ОДНОЙ СТЕПЕНЬЮ СВОБОДЫ. ЦИКЛИЧЕСКИЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ
§ 20.1. Индекс кривой й индекс особой точки. В этой главе мы продолжим изучение периодических движений, которые возможны в системе
х = Р(х, у), у = Q(x, у). (20.1.1)
Траектории периодических движений суть простые замкнутые кривые. Они являются замкнутыми силовыми линиями поля (P,Q), если таковые существуют.
Известны случаи, когда все силовые линии поля являются замкнутыми. Рассмотрим прямолинейное движение частицы в силовом поле. Уравнением траектории будет
~y- = C-V, (20.1.2)
и если V = у п2х2 (гармонический осциллятор) или, вообще, если с увеличением X от —сю до + оо функция V монотонно убывает от +°° ДО некоторого минимума, а затем монотонно возрастает до +оо, то все силовые линии являются замкнутыми, а все возможные движения — периодическими. Этот случай, однако, является исключительным. Во многих важных случаях существует только одна циклическая траектория, причем почти все траектории имеют форму спиралей, приближающихся к периодической траектории. Система, так сказать, имеет тенденцию к периодическому движению.
Мы будем пользоваться термином циклическая траектория вместо замкнутая траектория, так как в доказательствах теорем настоящей главы будет применяться теория точечных множеств и термин замкнутая будет употребляться в том смысле, в каком он обычно употребляется в теории множеств.
Особые точки, изучавшиеся в предыдущей главе, представляют собой вырожденные случаи циклических характеристик.
Рассмотрим простую замкнутую кривую Г, не проходящую через особые точки; пусть точка р проходит всю эту кривую, двигаясь в положительном направлении (против хода часовой стрелки). Обозначим через 0 (р) наклон силы поля F к осиOx в точке р. Если точка р, двигаясь по кривой в положительном направлении, против хода часовой стрелки, совершает один полный оборот, то 0 (р), изменяясь непрерывно с изменением р, получает приращение 2пп, где п — целое положительное или отрицательное число или нуль. Число п называется индексом кривой для заданного поля. Изменение 0 при перемещении точки р по кривой Г можно представить посредством отображения кривой Г на единичную окружность. Если через и (р) обозначить единичный
вектор j-=q F, то индекс будет равен числу полных оборотов вектора и при
одном обходе точки р по кривой Г.
Если кривая Г фиксирована, а векторное поле F непрерывно изменяется, но так, что на кривой Г не появляется особых точек, то индекс кривой остается без изменения. Обратно, если зафиксировать поле и непрерывно деформировать кривую Г, но так, чтобы она оставалась простой замкнутой кривой,
25 л. д. Парс
386
ЦИКЛИЧЕСКИЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ
[Гл. XX
не проходящей через особую точку, то индекс не изменится. Это непосредственно следует из того простого факта, что переменная, которая может принимать лишь дискретные значения, при непрерывном изменении может лишь оставаться постоянной.
Рассмотрим теперь изолированную особую точку q. Окружим ее малым кружком у; радиус кружка возьмем столь малым, чтобы ни внутри его, ни на его границе, кроме q, не было других особых точек. Тогда индекс кривой 7 будет иметь вполне определенное значение, не зависящее от радиуса кружка, поскольку с изменением радиуса в нем не появляется других особых точек. Это число называют индексом особой точки q.
