Аналитическая динамика - Парс Л.А.
Скачать (прямая ссылка):
2) / (г) = г sin (л/г). В этом случае г = г2 sin (n/r) и существует семейство периодических траекторий, а именно окружностей г = 1/п, где п — целое положительное число. Если r0 = то траекторией служит окружность г = 1/п.
• •
Если r0 > 1, то г > О и г -к оо вместе с f. Если 1 > г0 > 1/2, то г < О и г -> 1/2„ когда t -»- оо; траекторией является спираль, накручивающаяся снаружи на окружность г = 1/2. Если 1/2 > г0 > 1/3, то /¦ > О и г 1/2, когда t оо; траекторией является спираль, накручивающаяся изнутри на окружность г = 1/2. Вообще, если О < г, < 1 и Гц не имеет вида 1/п, то траектория представляет собой спираль, накручивающуюся изнутри или снаружи на ближайшую окружность, радиус которой равен обратной величине четного целого числа. Добавление членов высшего порядка не изменяет устойчивости, установленной линейным приближением: она не становится асимптотической. Не все траектории вблизи точки О являются периодическими (как это было в примере 19.10А, 1) и в примере 19.ЮС). Читатель может попробовать самостоятельна
* Tl
рассмотреть уравнение г2 = г* sin2 — , применяя теорию, развитую в гл. I при выводе уравнения (1.2.10).
1 1
3) / (г) = г2. В этом случае ¦^= 2 (t0 — t) и г ->- оо, когда t ->- t0 = — . Траекторией является спираль г2 (6 — Q1) = 1/2, где 6i = O0 — t0. Особая точка типа центра неустойчива (см. пример 19.10А, 3)).
Если ввести обозначения % = х — iy, r\ = х -\- iy, то уравнения примут вид
i = il + l2T), 4=— '4 + №
Тогда
и, следовательно,
-1- = 2(?-*), I = ^0-O1
что совпадает с полученным ранее решением. Аналогичным образом можно поступить-и в случае более общей системы
I = Ag + ц? (|т))п, ^ = _лт) + ЦТ) (1г\)п.
§ 19.11. Связь линейного приближения с общей теорией. В предыдущих параграфах мы рассмотрели вопрос об устойчивости положения равновесия в связи с задачей о линейном приближении. Было найдено, что если линейное приближение показывает асимптотическую устойчивость, то к этому же результату мы приходим и в случае учета нелинейных членов. Аналогично, если линейное Приближение показывает неустойчивость, то этот результат сохраняется и при учете нелинейных членов. Что же касается обыкновенной устойчивости, то она, вообще говоря, не сохраняется при переходе от линейного приближения к точным уравнениям.
Рассмотрим еще три примера. В первом из них система имеет две особые точки — типа центра и типа седла — и траектории разделяются на три класса сепаратрисой — силовой линией, проходящей через седловую точку.
§ 19..18]
СВЯЗЬ ЛИНЕЙНОГО ПРИБЛИЖЕНИЯ C ОБЩЕЙ ТЕОРИЕЙ
383
Второй и третий примеры относятся к исключительному случаю, когда в особой точке якобиан обращается в нуль.
Пример 19.НА. Частица единичной массы движется по прямой под действием
силы
Л (19.11.1)
а-(-6—X '
причем 0 < а < & и ж < а+&. Уравнения имеют вид
ab
х = У, У =
а-\-Ъ — х
(19.11.2)
Правая часть второго уравнения обращается в нуль в точках а и Ъ. Поле обладает двумя особенностями: центром в точке А (а, 0) и седлом в точке В (6, 0). Потенциальная функция имеет вид
У=~-Х2+аЬЫ ( а + Ь~Х ) , (19.11.3)
и траектории определяются из уравнения энергии
(19.11.4)
График функции — V имеет вид, показанный на рис. 88. Подобно § 1.2, форма кривой определяет характер движения для всех значений С. Траектории показаны на рис. 89. Точка А (центр), относительно которой линейное приближение показывает обыкновенную устойчивость (см. пример 19.10А, 1) и пример 19.ЮС), остается
Рис 89.
устойчивой и при учете нелинейных членов. Подтверждается также вывод, полученный в § 19.8, что движение в окрестности седла сохраняет свой характер при переходе от уравнений линейного приближения к точным уравнениям.
Сепаратриса, которая является силовой линией, проходящей через седловую точку В, пересекает себя в этой точке. Седловая точка сама есть точечная траектория, кроме того, она является предельной точкой входящих в нее траекторий — дуг сепаратрисы. Уравнение сепаратрисы имеет вид
х2 + у2 + 2аЪ In ( а + Ьа~Х ) =№. (19.11.5)
Эта кривая еще раз пересекает ось х, слева или справа от начала координат в зависимости от величины Ь/а. Критический случай, когда пересечение происходит точно в начале координат, имеет место тогда, когда величина (а + Ь)1а удовлетворяет уравнению
In x = -і- (х -
-1).
т. е. приблизительно при x = 3,51 или Ъ/а = 2,51. Если Ь/а превышает это критическое значение, то сепаратриса пересекает ось Ox слева от начала координат; рис. 89 относится к случаю, когда Ъ = За.
384
СИСТЕМЫ C ОДНОЙ СТЕПЕНЬЮ СВОБОДЫ
[Гл. XIX
Пример 19.11В. До сих пор мы рассматривали системы с изолированными особыми точками, причем предполагали, что якобиан д (Р, Q)Id (х, у) в этих точках отличен от нуля. Сейчас мы рассмотрим два примера, относящиеся к исключительному случаю, когда якобиан в особой точке обращается в нуль и изложенная выше теория неприменима.
Рассмотрим систему
х = х* —у*, у=2ху. (19.11.6)
Правые части этих уравнений не содержат линейных членов, и решение уравнений линейного приближения имеет вид X = х0, у = г/0. Соответствующая этому приближению особая точка является устойчивой, и согласно определению устойчивости, данному в § 19.5, можно положить х = е.
