Аналитическая динамика - Парс Л.А.
Скачать (прямая ссылка):
^ — »-2
Решая, находим
Рис. 86.
В этом случае при t¦
1
го
t.
со, так что осооая точка оказывается
неустойчивой. (Этот пример мы уже приводили в § 9.9.)
В случаях 2) и 3) траектории имеют вид гиперболических спиралей.
Пример 19.10В. Рассмотрим в свете изложенной теории задачу о колебаниях гармонического осциллятора в сопротивляющейся среде (эта задача уже рассматривалась нами в § 19.2).
Уравнения движения
У+/(ж)+ г= 0 (19.10.8)
приводится к двум уравнениям первого порядка:
'х = у, y=-x-f (у). (19.10.9)
Функция / (у) обращается в нуль вместе с у и монотонно возрастает, так что yf (у) всюду положительно, за исключением у = 0, и монотонно возрастает, когда у возрастает или убывает от нуля. Начало координат представляет особую точку типа центра. Далее,
тг = хх -J- уу
-yf (У),
так что г непрерывно убывает и при t оо стремится к предельному значению I (I ^ 0). Но выше мы видели (§ 19.2), что случай I > 0 невозможен, так что г ->- 0 и особая точка асимптотически устойчива.
Пример 19.ЮС. Рассмотренная выше система может и не быть асимптотически устойчивой, если снять требование, чтобы / (у) имело тот же знак, что и у.
Рассмотрим, например, движение, определяемое уравнением
0.
(19.10.10)
X -J- X2 + X
Уравнения первого порядка имеют вид
'х= у, у = — X — у2. (19.10.11)
Начало координат представляет особую точку типа центра, причем ? = —1.B полярных координатах имеем
тг = —у3, 0 = —1 — (ху21г2).
S 19.10]
движение в окрестности центра
381
Если t заменить на —*, а у на —у, то уравнения сохранят свою форму. Отсюда следует, что траектории симметричны относительно оси Ох. Рассмотрим траекторию, начинающуюся в точке (—6, 0), считая Ъ > 0. Изображающая точка попадает в верхнюю
полуплоскость; пока она там находится, выполняются неравенства х > 0 (так что я > —J) и г < 0 (так что г < 6). Кроме того, при малых значениях Ъ величина 6 монотонно убывает; предположив для определенности, что Ъ < 1/2, получим, что 6 < —1/2. Траектория не может войти в точку О, так что она вновь пересекается с осью Ox справа от О. Благодаря симметрии траектория в нижней полуплоскости является зеркальным отображением траектории в верхней полуплоскости, так что в целом получаются овальные замкнутые кривые. В этом случае устойчивость, получаемая из линейного приближения, сохраняется как обыкновенная устойчивость, в противоположность предыдущему случаю асимптотической устойчивости.
В этой задаче траектории можно получить в явном виде. Интересно исследовать полное решение, не ограничиваясь случаем малых возмущений из положения равновесия. Уравнение {19.10.10) эквивалентно следующему:
±(±у-)+у-+х = 0. (19.10.12)
Это линейное дифференциальное уравнение первого порядка относительно у-. Характеристикой, проходящей через точку (о, 0), будет
„ 1 / 1
,2(а-ж)
(19.10.13)
что можно записать также в виде 1
У-
i = (a-x)+(a—j} {e2<a-*)-l}. (19.10.14)
Рис. 87.
Правая часть уравнения показывает, что при 0 < о < 1/2 мы имеем по координате х либрацию и траекторией в плоскости ху является замкнутая кривая. Движение в этом случае является периодическим: переменная х совершает колебания в пределах о ^ х ^ ^ —Ъ (Ь > 0), причем a и 6 связаны между собой соотношением
(1 + 2Ь) е--Ъ = (1 — 2а) е-а.
4 16
(Если величина о мала и положительна, то Ъ приближенно равно a -f- -=- a2 -f- --- о3
Отметим, что Ъ -*¦ оо, когда о 1/2. Если
1
и период составляет 2я (1 -\- -g- о2) *).
а равно критическому значению 1/2, траектория принимает форму параболы у2 -f- х = 1/2 их-*- —оо при t -»- оо. Если о > 1/2, траектории оказываются незамкнутыми и при ї, стремящемся к конечному пределу t0, x —оо. На рис. 87 показаны соответствующие кривые для значений а = 0,1, 0,2, 0,3, 0,4, 0,5, 0,6, 0,7 (см. рис. 86). При построении этих кривых следует иметь в виду, что замкнутые траектории в точках их пересечения с параболой у2 -f- х = 0 имеют горизонтальные касательные, а максимальное значение w переменной у определяется из уравнения
2w- = In
(ті)--
(т)2 = 1+4(2а)+Т (2«)2+|-(2«)3+...
Для незамкнутых траекторий 6 = 0 на кривой х2 -\- у2 -f- xy2 = 0. Пример 19.10D. В качестве еще одного примера движения в окрестности центра рассмотрим систему
x=y-\-xf (г), 1
у-=—х-\-у{{-). J
(19.10.15)
См. примечание на стр. 25.
382
СИСТЕМЫ С ОДНОЙ СТЕПЕНЬЮ СВОБОДЫ
[Гл. XIX.
Для этой системы Э = 0О — t при любой форме / (г) и г = rf (г). Случаи / (г) = ±г нами уже рассматривались в примере 19.10А, поэтому сейчас мы рассмотрим три следующих случая:
1) f (г) = г (а — г), а > 0. Если в начальный момент г = г0, 0 < г0 < а, то г > О и при t ->¦ оо г -»- а. Траектория представляет собой спираль, накручивающуюся изнутри на окружность г = а. Имеем
аЧ = а2 (Є0-Є) = 1п-^ + Ро-Р,
где через р обозначена разность --1. Особая точка типа центра, находящаяся в начале
координат, неустойчива. Если г0 > а, то г < О и г -> а при t ->- оо; траектория представляет собой спираль, накручивающуюся снаружи на окружность г = а.
