Аналитическая динамика - Парс Л.А.
Скачать (прямая ссылка):
X + X — р sin X = 0, (19.8.16)
где р = Ti2Hk2; соответствующие уравнения первого порядка будут иметь вид
х — У, У = P sin X — у. (19.8.17)
В подобных задачах обычно удается построить силовые линии графически. Построим сначала (рис. 84) кривую у = р sin х. Перпендикуляр к оси Ох, опущенный:
378
СИСТЕМЫ C ОДНОЙ СТЕПЕНЬЮ СВОБОДЫ
[Гл. XIX
из произвольной точки А, пересечет синусоиду в точке В, а ось Ox в точке N. На оси Ox выберем точку С, лежащую слева (справа) от точки N на расстоянии AB, если точка А расположена выше (ниже) точки В. Вектор поля в точке А имеет направ- ч ление, перпендикулярное к CA. На рис. 85 показаны силовые линии этого поля, которые являются траекториями
Рис. 85.
рассматриваемой динамической задачи. Точка неустойчивого равновесия (6 = ср = 0) является седлом, а точка устойчивого равновесия (6 = я, ср = 0) — устойчивым фокусом.
§ 19.9. Движение в окрестности фокуса.
мальной форме:
Приведем уравнения к нор-
х = ах-
є (г, у), 1 ¦ifo У)- J
(19.9.1)
Здесь сх ± i? — ¦ц/r стремятся к а < 0 и ? > 0. будут спирали
у = $х + ау + '
собственные значения, а є и т) таковы, что отношения г/г,
нулю вместе с г. Для определенности предположим, что Далее, R0 = ar, S0 = ?r, так что траекториями поля F0 закручивающиеся в положительном направлении около точки О. В точках, достаточно близких к точке О, поле F мало отличается оЛРо, так что при г < г0 имеем
RIr < -к < 0, S/r > к' > 0. (19.9.2)
Положительная полухарактеристика, начинающаяся в точке круга г ¦< г0, снова оказывается спиралью, закручивающейся около точки О; при этом при t со г (t) —V 0 и 0 (t) —>• оо. Мы вновь приходим к выводу, что характер поведения траекторий вблизи особой точки определяется одними только линейными членами. Если а <С 0, то особая точка устойчива; если <х > 0, то неустойчива.
Этот случай иллюстрируется также примером 19.8В. Если отсчитывать 6 от нижней точки окружности, то уравнение движения запишется так:
6 + 2k& + п? sin 0 = 0. Соответствующие уравнения первого порядка будут иметь вид
0
Ф
-п2 sin 0 — 2/?ф.
(19.9.3)
(19.9.4)
Собственные значения равны —к ± ip, где р = "\/п2 — к2. На рис. 85 показаны траектории этой системы; интересующая нас особенность располагается на этот раз не в начале координат, а в точке (я, 0).
5 19.10]
ДВИЖЕНИЕ B ОКРЕСТНОСТИ ЦЕНТРА
379
§ 19.10. Движение в окрестности центра. Здесь мы рассмотрим критический случай. Выше было установлено, что в окрестности особых точек типа узла, седла и фокуса движение происходит, по существу, так же, как если бы оно описывалось соответствующим линейным приближением. Однако для особой точки типа центра это не имеет места. В этом случае линейное приближение дает устойчивость, в то время как точные уравнения могут привести либо к устойчивому, либо к асимптотически устойчивому, либо, наконец, к неустойчивому движению.
Запишем исходные уравнения в нормальной форме:
X= -?y-, „v~, , (19.10.1)
Ч + г(х, у), 1
л О, у)- J
2/ = ?^+'
• • • •
Введем полярные координаты; используя соотношения rr = xx-\-yy, r2Q = = ху — ух, получаем
хг + уц
6 = ?
г
хц — у S
(19.10.2)
Решение уравнений линейного приближения имеет вид
г = г0, 9 = O0 + ?*. Формула для 6 остается в силе и для точных уравнений, если г/х =
Пример 19.10А. Исследуем сначала линейные уравнения
'х = У, у = -х, (19.10.3)
описывающие, очевидно, колебания гармонического осциллятора. Начало координат является особой точкой типа центра, ? = —1, и решение имеет вид
г = г0, 0 = G0 — t. (19.10.4)
Посмотрим, как изменится решение, если в выражения для составляющих вектора поля добавить члены второго порядка, и приведем примеры для каждого из трех возможных здесь случаев. (В каждом из приводимых ниже примеров соблюдается условие в/х = г\1у, так что во всех случаях уравнение G = S0 — t остается в силе.) 1) Уравнения имеют вид
X = у — ху, у = —х — у2. (19.10.5)
Отсюда получаем
г = —ry = —г2 sin (G0 — t).
Решая, находим
1 _1
'о
----— = cos (G0 — t) —- cos G0 = cos G — cos (
Траекториями являются конические сечения г = е (1 — х) с фокусом в точке
О и директрисой х = 1. При малых значениях г0 траектории представляют
собой эллипсы, и вопрос об устойчивости решается так же, как в случае
I
линейного приближения. Для всякого заданного положительного є <
380
СИСТЕМЫ С ОДНОЙ СТЕПЕНЬЮ СВОБОДЫ
[Гл. XIX
мы можем взять к (е) = "2 є (определение символов є и X дано в § 19.5).
На рис. 86 показаны траектории, пересекающие прямую у = 0 в точках
а: = 0,1, 0,2, 0,3, 0,4, 0,5, 0,6 и 0,7. 2) Уравнения имеют вид
X = у — хг, у = —X — уг. (19.10.6) Отсюда получаем
г = —г2.
Решая, находим
1—L = *,
г го
л; и при if—v od г —v 0. Устойчивость не только сохранилась, но стала еще более сильной: мы получили асимптотическую устойчивость. 3) Уравнения имеют вид
X = у + хг, у = —х + уг. (19.10.7) Отсюда получаем