Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Парс Л.А. -> "Аналитическая динамика" -> 169

Аналитическая динамика - Парс Л.А.

Парс Л.А. Аналитическая динамика. Под редакцией Рубашева А.Н. — М.:Наука, 1971. — 636 c.
Скачать (прямая ссылка): analitdinamik1971.djvu
Предыдущая << 1 .. 163 164 165 166 167 168 < 169 > 170 171 172 173 174 175 .. 290 >> Следующая


X + X — р sin X = 0, (19.8.16)

где р = Ti2Hk2; соответствующие уравнения первого порядка будут иметь вид

х — У, У = P sin X — у. (19.8.17)

В подобных задачах обычно удается построить силовые линии графически. Построим сначала (рис. 84) кривую у = р sin х. Перпендикуляр к оси Ох, опущенный:

378

СИСТЕМЫ C ОДНОЙ СТЕПЕНЬЮ СВОБОДЫ

[Гл. XIX

из произвольной точки А, пересечет синусоиду в точке В, а ось Ox в точке N. На оси Ox выберем точку С, лежащую слева (справа) от точки N на расстоянии AB, если точка А расположена выше (ниже) точки В. Вектор поля в точке А имеет направ- ч ление, перпендикулярное к CA. На рис. 85 показаны силовые линии этого поля, которые являются траекториями

Рис. 85.

рассматриваемой динамической задачи. Точка неустойчивого равновесия (6 = ср = 0) является седлом, а точка устойчивого равновесия (6 = я, ср = 0) — устойчивым фокусом.

§ 19.9. Движение в окрестности фокуса.

мальной форме:

Приведем уравнения к нор-

х = ах-

є (г, у), 1 ¦ifo У)- J

(19.9.1)

Здесь сх ± i? — ¦ц/r стремятся к а < 0 и ? > 0. будут спирали

у = $х + ау + '

собственные значения, а є и т) таковы, что отношения г/г,

нулю вместе с г. Для определенности предположим, что Далее, R0 = ar, S0 = ?r, так что траекториями поля F0 закручивающиеся в положительном направлении около точки О. В точках, достаточно близких к точке О, поле F мало отличается оЛРо, так что при г < г0 имеем

RIr < -к < 0, S/r > к' > 0. (19.9.2)

Положительная полухарактеристика, начинающаяся в точке круга г ¦< г0, снова оказывается спиралью, закручивающейся около точки О; при этом при t со г (t) —V 0 и 0 (t) —>• оо. Мы вновь приходим к выводу, что характер поведения траекторий вблизи особой точки определяется одними только линейными членами. Если а <С 0, то особая точка устойчива; если <х > 0, то неустойчива.

Этот случай иллюстрируется также примером 19.8В. Если отсчитывать 6 от нижней точки окружности, то уравнение движения запишется так:

6 + 2k& + п? sin 0 = 0. Соответствующие уравнения первого порядка будут иметь вид

0

Ф

-п2 sin 0 — 2/?ф.

(19.9.3)

(19.9.4)

Собственные значения равны —к ± ip, где р = "\/п2 — к2. На рис. 85 показаны траектории этой системы; интересующая нас особенность располагается на этот раз не в начале координат, а в точке (я, 0).

5 19.10]

ДВИЖЕНИЕ B ОКРЕСТНОСТИ ЦЕНТРА

379

§ 19.10. Движение в окрестности центра. Здесь мы рассмотрим критический случай. Выше было установлено, что в окрестности особых точек типа узла, седла и фокуса движение происходит, по существу, так же, как если бы оно описывалось соответствующим линейным приближением. Однако для особой точки типа центра это не имеет места. В этом случае линейное приближение дает устойчивость, в то время как точные уравнения могут привести либо к устойчивому, либо к асимптотически устойчивому, либо, наконец, к неустойчивому движению.

Запишем исходные уравнения в нормальной форме:

X= -?y-, „v~, , (19.10.1)

Ч + г(х, у), 1

л О, у)- J

2/ = ?^+'

• • • •

Введем полярные координаты; используя соотношения rr = xx-\-yy, r2Q = = ху — ух, получаем

хг + уц

6 = ?

г

хц — у S

(19.10.2)

Решение уравнений линейного приближения имеет вид

г = г0, 9 = O0 + ?*. Формула для 6 остается в силе и для точных уравнений, если г/х =

Пример 19.10А. Исследуем сначала линейные уравнения

'х = У, у = -х, (19.10.3)

описывающие, очевидно, колебания гармонического осциллятора. Начало координат является особой точкой типа центра, ? = —1, и решение имеет вид

г = г0, 0 = G0 — t. (19.10.4)

Посмотрим, как изменится решение, если в выражения для составляющих вектора поля добавить члены второго порядка, и приведем примеры для каждого из трех возможных здесь случаев. (В каждом из приводимых ниже примеров соблюдается условие в/х = г\1у, так что во всех случаях уравнение G = S0 — t остается в силе.) 1) Уравнения имеют вид

X = у — ху, у = —х — у2. (19.10.5)

Отсюда получаем

г = —ry = —г2 sin (G0 — t).

Решая, находим

1 _1



----— = cos (G0 — t) —- cos G0 = cos G — cos (

Траекториями являются конические сечения г = е (1 — х) с фокусом в точке

О и директрисой х = 1. При малых значениях г0 траектории представляют

собой эллипсы, и вопрос об устойчивости решается так же, как в случае

I

линейного приближения. Для всякого заданного положительного є <

380

СИСТЕМЫ С ОДНОЙ СТЕПЕНЬЮ СВОБОДЫ

[Гл. XIX

мы можем взять к (е) = "2 є (определение символов є и X дано в § 19.5).

На рис. 86 показаны траектории, пересекающие прямую у = 0 в точках

а: = 0,1, 0,2, 0,3, 0,4, 0,5, 0,6 и 0,7. 2) Уравнения имеют вид

X = у — хг, у = —X — уг. (19.10.6) Отсюда получаем

г = —г2.

Решая, находим

1—L = *,

г го

л; и при if—v od г —v 0. Устойчивость не только сохранилась, но стала еще более сильной: мы получили асимптотическую устойчивость. 3) Уравнения имеют вид

X = у + хг, у = —х + уг. (19.10.7) Отсюда получаем
Предыдущая << 1 .. 163 164 165 166 167 168 < 169 > 170 171 172 173 174 175 .. 290 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed