Аналитическая динамика - Парс Л.А.
Скачать (прямая ссылка):
0<_р'<О. (19.7.10)
Рассмотрим положительную полухарактеристику, начинающуюся в точке области B1. Так как rx г0, то траектория стремится к точке О,
и поскольку в области B1 9 > р/, изображающая точка входит в область A2. Но, оказавшись в области A2, изображающая точка остается в ней. Для доказательства достаточно указать направление поля F в точках на границе сек-
тора. Траектория может пересекать ось Oy. Далее, заменим б на -^- б и рассмотрим точку на той же траектории в момент времени t, выбранный так, чтобы r(i)<rj (у б j . Если точка в этот момент еще не находится в области
A2 (у і т°, рассуждая, как и выше, заключаем, что она попадет туда и останется там.
Таким образом, применяя повторно этот метод, мы видим, что при любом заданном г) > 0, как бы мало оно ни было, существует время т = т (т)) такое, что при t > т
1я-л<8(0<уя + т|, (19.7.11)
и траектория входит в точку О вдоль положительной оси у.
Если изображающая точка начинает движение в момент t = 0 из области B2, то траектория опять-таки входит в точку О вдоль положительной оси у. Если она начинает движение из области B3 или B4, то траектория входит в точку О вдоль отрицательной оси у. Каждая положительная полухарактеристика, которая не входит в точку О вдоль оси х, входит в нее вдоль оси у.
Остается открытым вопрос, существует ли траектория, которая входит в точку О вдоль оси х. На этот вопрос можно дать утвердительный ответ. Для доказательства рассмотрим дугу CD окружности г = г4, лежащую в области Ai. Предположим, что в момент ? = 0 изображающая точка начинает свое движение из некоторого положения на дуге CD. Если ни одна из начинающихся на дуге CD положительных полухарактеристик не входит в точку О вдоль оси х, то все эти кривые входят в точку О вдоль оси у сверху или снизу. Одни из них попадут в область A2 (и войдут в точку О вдоль положительной оси у), другие попадут в область Ai1 (и войдут в точку О вдоль отрицательной оси у). Поэтому на дуге CD можно указать два непустых множества точек, в зависимости от того, входит ли траектория в область A2 или At. Эти множества являются открытыми, поскольку решение изменяется непрерывным образом в зависимости от начальной точки, так что на дуге CD существует хотя бы одна точка, которая не принадлежит ни одному из этих множеств. Эта точка дает начало траектории, входящей в точку О по направлению оси Ох. (Существует, однако, важное отличие от линейного случая, состоящее в том, что траектория, входящая в точку О вдоль оси Ох, не, обязательно является единственной *). Так, например, система
X = —2х, 'у = —у — За;2 sin (лу/2х2) (19.7.12)
*) Если дг\/ду 0 вместе с г, то имеет место единственность.
§ 19.8]
ДВИЖЕНИЕ В ОКРЕСТНОСТИ СЕДЛОВОЙ ТОЧКИ
375
имеет бесконечное множество траекторий, входящих в точку О вдоль оси Ох, в частности кривые у = 0 и у = х2.)
Итак, поведение в окрестности узла в основном такое же, как и в рассмотренном ранее линейном приближении.
Случай, когда X1 = X2, можно исследовать аналогичным образом; устойчивость узла определяется одними лишь линейными членами. В обычных случаях, когда є и т) имеют порядок О (г2), узел остается узлом. В более общем случае, когда г/г —>-0, г]/г->-0, узел может превратиться в фокус.
Пример 19.7. Рассмотрим систему, движение которой описывается уравнениями
X = —цх + є, у = —рл/ + ч> (19.7.13)
где Ll > 0 и
є = — sin Є/(г), т] = cos 6 / (г), (19.7.14)
а
/(г) =
Если в начальный момент г = r0 < t1, то
г = — ur, г = г0е-»* (19.7.15)
и траектория стремится к точке О. Кроме того, имеем
Интегрируя, получаем
(19.7.16)
_2А
l/ui+ln-^-, (19.7.17)
так что особенностью полного поля является фокус. Согласно линейному приближению особенность представляет собой устойчивый узел.
§ 19.8. Движение в окрестности седловой точки. Запишем уравнения в форме
X^k1X+г (х, у), "I (19.8.1)
У — ^2у + и (х, у), J
где X1 <; 0 <; X2. Имеем
R0Zr = X2 sin26 — Li1 cos2 9 = (Li1 + X2) sin29 — Ll1 =
= X2 — (ці + X2) cos2 Є. (19.8.2)
Можно указать такой угол б и такую положительную постоянную К, чтобы
R0/r>K>0 для областей A2, Аіг "I (19 8 3)
R0Jr <С — К < 0 для областей A1, A3 J
(обозначения см. на рис. 82). Кроме того, имеем
S0Ir = (Li1 + X2) cos 0 sin 6, (19.8.4)
так что
S0/r > (Li1 + X2) cos б sin б > 0 для областей B1, B3, SJr <; — ({X1-T- X2) cos б sin б <с 0 для областей
!" ^ ] (19.8.5)
376
СИСТЕМЫ C ОДНОЙ СТЕПЕНЬЮ СВОБОДЫ
[Гл. XIX
Аналогичные результаты можно получить и для RIr и Sir, если рассматривать точки в достаточной близости от точки О. Существуют расстояние t1 = T1 (б) и положительные числа к, к' такие, что если г <С гь то
г = В>Ат->0 для областей A2, Ai} . (19 8 6)
r = R<i— кг<сО для областей A1, A3
и
Є = S/r> к' >0 для областей B1, B3, , (19 8 7)
6 = SУ г < — к' < 0 для областей B2, B4
Рассмотрим траекторию, начинающуюся в области B1. Поскольку в этой
