Аналитическая динамика - Парс Л.А.
Скачать (прямая ссылка):
§ 18.8. Постоянные 1Г. Общий характер движения определяется распределением вещественных нулей функций fr (qr), что в свою очередь зависит от значений постоянных CC1, а2, . . ., ап. Хотя для определения траектории необходимо задать 2п параметров ат, ?r, однако задание одних лишь постоянных а уже позволяет определить общий характер траектории. Это обстоятельство уже отмечалось нами при исследовании двумерной задачи, где указывалось на существенную роль постоянных h, а (§ 17.4). В и-мерной задаче постоянная P1 зависит лишь от выбора начала отсчета времени, а фазовые постоянные ?r (г > 1) не оказывают влияния на пределы либрации и, следовательно, не сказываются на общем характере движения.
Рассмотрим теперь частоты Li7.. Их значения определяются постоянными cors. В самом деле, Li1 = Li17., где (\irs) — матрица, обратная матрице (cors), и величины
со.
& Ursdgr (18.8.1)
^ Vu cir)
будут определены, коль скоро известны параметры а и, стало быть, пределы либрации по координате qr. Поэтому элементы матриц (cors) и (\irs) являются известными функциями а, и, в частности, частоты Li7. являются известными функциями а. Возникает вопрос: в какой мере задание начальных условий определяет частоты? В частности, возможны ли такие движения динамической системы, когда частоты Li7- пропорциональны целым числам? Иными словами, существуют ли периодические движения?
Чтобы ответить на эти вопросы, введем вместо а новые постоянные 1Т. Постоянную примем равной приращению функции Кт, когда координата qr проходит полный цикл своих значений. Таким образом,
Ir= ^VJAMr) dqT. (18.8.2)
Введенные постоянные / образуют новую систему параметров, зависящих от первоначальных параметров а; из равенства (18.8.1) следует, что
»» = ?-. (18.8.3)
Представив а как функции /, будем иметь
да
Ит = #- (18.8.4)
и, в частности,
Li7. = ^-- (18.8.5)
Постоянная Ct1, как можно было ожидать, играет здесь особую роль: Ct1 есть постоянная энергии.
Таким образом, мы приходим к следующему простому правилу для квазипериодических движений систем типа Штеккеля: если постоянная энергии а.1 выражена через параметры I, то частоты системы определяются как частные производные dajdlr.
В общем случае следует ожидать, что уравнения (18.8.5) при заданных Li (по крайней мере при Li, заданных в некоторой области) могут быть решены
342
СИСТЕМЫ С я СТЕПЕНЯМИ СВОБОДЫ
[Гл. XVIII
относительно I. Это означает, что при надлежащем выборе начальных условий мы можем придать частотам системы любые значения. В общем случае это утверждение справедливо, однако имеется важное исключение.
Может оказаться, что CX1 будет зависеть от линейной комбинации параметров I, т. е. CX1 = F (z), где
z = Jc1I1 -I- кг1г + . . . + AnZn, (18.8.6)
а коэффициенты кт являются фиксированными абсолютными постоянными. В этом случае, каковы бы ни были начальные условия, справедливы равенства
-^=-^=...=4^. (18.8.7)
Zc1 A2 An v '
Эти формулы раз навсегда определяют отношения частот друг к другу, и эти отношения нельзя изменить никаким выбором начальных условий. Тем самым устанавливается определенная степень вырождения системы. В частном случае, когда отношение двух любых коэффициентов к есть число рациональное, движение всегда является периодическим; при этом между коэффициентами к существуют п — 1 линейных соотношений
V1Zc1 + V2Zc2 +. . . + VnAn = 0 (18.8.8)
с целыми vr. В другом частном случае, когда между к не существует ни одного соотношения типа (18.8.8), движение системы никогда не будет периодическим (за исключением главных колебаний в колебательных системах). В промежуточном случае, когда имеется щ независимых линейных соотношений (18.8.8), причем 0 < п0 < п — 1, степень вырождения системы не зависит от начальных условий.
В § 17.3 были приведены два примера подобных явлений. 1) В теории малых колебаний (гл. IX), где
L = A(Ii + Ii+ . . . +Щ +!(mju+mgi+ . . . + тЩ , (18.8.9)
движение всегда периодично, когда отношение любой пары значений т есть число рациональное, и никогда не периодично (за исключением главных колебаний), если между TIt1, т2, . . ., TTin не существует линейного однородного соотношения с целыми коэффициентами. Действительно, в этом случае CX1 зависит от комбинации Tn1I1 -\- Tn2I2+ . . . + TnnIn и, следовательно,
ц) [x2___ _ [In
(18.8.10)
2) Второй пример относится к движению планеты в пространстве под действием ньютоновского притяжения к центру. Вопрос о том, почему орбита (если она ограничена) должна быть всегда периодической, возник в начале изучения общих динамических систем. В этой задаче параметр CX1 зависит от I1 + I2 + I3, и, следовательно, каковы бы ни были начальные условия, будем иметь
Fi = Ц2 = Из- (18.8.11)
Другой особый случай мы имеем, когда Ot1 зависит не от одной линейной формы z, а от j) независимых линейных форм Z1, z2, • • ., zp:
zr = krlh + А,,2/2 + . . . + KnIn, п = 1, 2, . . ., р, (18.8.12)
где 0 < р < п — 1. При этом (j, связаны п — р независимыми линейными соотношениями
