Аналитическая динамика - Парс Л.А.
Скачать (прямая ссылка):
п
ПОЛ0ЖЄНИЄ ТОЧКИ P2 ОТНОСИТеЛЬНО Pi ОПИСЫВаеТСЯ вектором 2 TTIrQr, где
г—1
m — целые числа, положительные, отрицательные или нули.
Таким образом, можно разбить 8-пространство на периодические ячейки
п
C узлами, Определяемыми веКТОраМИ 2 mrQr ДЛЯ ВСЄХ цеЛЫХ Значений TTIi,
t= 1
Wi2. . . ., TTin. Ячейки обладают тем свойством, что конгруэнтные точки в двух любых ячейках представляют одну и ту же конфигурацию и одну и ту же скорость динамической системы. Соотношение между переменными { и О не является симметричным; так, например, если qT возрастает от qr0 до Ът и затем убывает до дг0 (в то время как остальные координаты q остаются неизменными), то в результате мы попадаем в другую точку 0-ячейки, представляющую ту же g-точку, но с другой скоростью. Действительно, каждая точка параллелепипеда в g-пространстве соответствует 2п точкам в 0-ячейке, а каждая из этих 0-точек представляет одну из 2™ возможных систем скоростей. Мы видим, что 0-ячейка дает более точное представление движения, нежели параллелепипед в д-пространстве, поскольку каждая точка в ней представляет как определенную конфигурацию системы, так и определенную скорость ее.
Так как конгруэнтные точки в различных 0-ячейках эквивалентны, то естественно сосредоточить внимание на рассмотрении одной стандартной ячейки и каждой точке 0-пространства поставить в соответствие конгруэнтную ей точку в стандартной ячейке. Будем считать, что одна из вершин стандартной ячейки расположена в начале координат (соответствующем точке а в g-пространстве), а в качестве ребер, проходящих через эту вершину, возьмем векторы йг.
Поясним сказанное простым примером, когда п = 2. Движение изображающей точки в плоскости ((Jt1, q2) ограничено прямоугольником (рис. 49), и соответствующую изображающую точку в плоскости (Qi, Q2) можно перенести в стандартную ячейку. Движе-ние в плоскости (Oi, O2) описывается очень просто: изображающая точка движется с единичной скоростью параллельно оси 8t:
u2-
ii = t-h' \ (18.5.9)
22 л. А. Парс
338
СИСТЕМЫ C п СТЕПЕНЯМИ СВОБОДЫ
[Гл. XVIII
и различные отрезки этой линии нужно заменить на конгруэнтные отрезки в стандартной ячейке (рис. 67). Вообще говоря, они не перекрываются и с увеличением числа отображаемых отрезков покрывают стандартную ячейку все более и более плотно. Но если отношение со22/сй12 есть число рациональное, то с течением времени отрезки будут проходиться повторно. В этом случае траектория в стандартной 9-ячейке будет состоять из конечного
Рис. 67.
числа отрезков, проходимых снова и снова; траектория в параллелепипеде д-простран-ства будет замкнутой, периодической. Позже мы получим общее условие периодичности, и тогда данный пример можно будет рассматривать как частный случай.
§ 18.6. Угловые переменные. Вернемся к задаче с п степенями свободы. Введенные в § 18.5 координаты 0Г сами по себе не играют особенно большой роли, основное значение для теории имеют некоторые линейные комбинации этих координат, называемые угловыми переменными. Роль координат O заключается в том, что они облегчают переход к угловым переменным.
Рассмотрим неособое линейное преобразование
п
Q8 = (O18V^-W28V2 + .. . + (OnsVs= S ®rsVr, S= 1, 2, . .., п. (18.6.1)
г=1
В матричной форме его можно записать в виде
Q=<a'v, (18.6.2)
где 0 — матрица-столбец {Q1, 62, . . ., Qn}, v — матрица-столбец {vt, v2, ... . . ., vn}, а со — матрица (wr8) размером п X п.
Если vr увеличивает свое значение на единицу, в то время как остальные V остаются неизменными, то O1, G2, . . ., Qn возрастают соответственно на сон,
ojr2, . . ., согп, т. е. на соответствующие периоды, a q, q и р остаются без изменений. Эти последние переменные являются периодическими функциями от у с периодом, равным единице по каждому v. Величины v называют угловыми переменными (хотя такое наименование было бы более подходящим для переменных wr = 2nvT, имеющих период 2я по каждому w). Если величины 2nvT интерпретировать как угловые переменные на тг-мерном торе, то будет существовать взаимно однозначное соответствие между точками этого тора и соответствующей областью фазового пространства. В общем случае координаты q могут быть представлены в форме рядов Фурье по v:
qr = qr(Vl,v,, Vn)-24, v2.....^m(V1151+V2»,+ ... +vn0n)5 (18.6.3)
где индекс V принимает все целые значения, положительные, отрицательные или нуль.
§ 18.7]
СТАНДАРТНЫЙ КУБ
339
Движение в пространстве v является равномерным и прямолинейным:
п
Vs = Ц.1801 + u.2e02-г ...-!-HnA1= /j Li,.s8r, s=l,2, п. (18.6.4)
г=1
Здесь через (Urs) обозначена матрица, обратная матрице (co!s). Подставляя вместо 6 их значения в момент t, а именно:
84 = t - ?i, 0S = -?s, s = 2, 3, . . ., п, (18.6.5)
получаем
vs = M + ?s, (18.6.6)
где вместо Iiis использован символ Hs, а через S8 обозначено выражение
п
o« = - 2 l*r.?r. (18.6.7)
r=l
Постоянные Hi, Li2, • • •, M-n называют частотами движения. Если величину 2nvr рассматривать как угол, составленный вращающимся вектором с неподвижным направлением, то цг будет выражать число оборотов в секунду.
