Аналитическая динамика - Парс Л.А.
Скачать (прямая ссылка):
2) Система Лиувилля представляет собой частный случай системы Штеккеля;. чтобы убедиться в этом, положим W1. = lr/Pr и напишем матрицу и в форме
'X1IPi X2IPz X3IP3
1/P1
¦1/P2 О
VPi.. ¦ О ...
1/^з...
1/Pi-О О
(18.4.3).
,XnIPn 0 0 ... -1/Pn,
п
3) Если T = -у У[ сгрг, как в (18.2.1), то можно удовлетворить условиям теоремы г=1
Штеккеля, положив
C1 =1, C2 = фь C3 = ф1ф2, Ci = ф1ф2фЗ, • • •, Cn = ф!ф2 . . . фп_1, (18.4.4)
где фг — функция от qr; матрица и при этом будет иметь вид
'1 О
О
ері
0
0 ..
. 0
— 1
ф2
0 ..
. 0
0
— 1
Фз • ¦
. 0
0
0
0 ..
. Vn-
0
0
0 ..
. —1
(18.4.5)
Система допускает разделение переменных, если V имеет следующее выражение:
V = Wi + IfIW2 + фіф2и>з + . . . + фіф2 . . . Фп_іи>„. (18.4.6)
4) Теорему Штеккеля можно записать так, чтобы формулы были близки к темг
п
что были получены для системы Лиувилля (§ 18.1). В самом деле, поскольку 2 cruTi = 1,.
г=1
можем написать
T =
9 -Lr,, J--J-г „ ^ (ClPl + °2Р* +¦¦¦+ СпРп) =
^ (C1U11 + C2M21 + ... і-спцп1)
= 4 (q «и+c2u21+...+C71U711) (iL + iL+... + -^) ,
^ \ C1 C2 6Il/
6^1 + C2W2+ .. . +CnWn
(18.4.7)
ClUlI +с2игі-\- ¦ ¦ •+CnUnI
Сходство с (18.1.2) очевидно. Эти формулы, однако, не имеют каких-либо практических преимуществ.
§ 18.5. Квазипериодические движения. Рассмотрим систему типа Штеккеля и остановимся более подробно на простейшем (и наиболее распространенном) случае, когда движение по каждой координате представляет собой либрацию. Будем предполагать, что коэффициенты ст не обращаются в нуль, а функции /г (qr) непрерывны. Каждое qr в начальный момент лежит между простыми вещественными нулями ar, br функции /г (qr) (предполагается, что аг < Ъг), и колебания qT происходят между пределами аг, Ът. Возьмем ат в качестве нижнего предела интегрирования в формуле (18.2.19) для K1.. В течение движения будем иметь
—^— = r.r м. (18.5.1)
V/r (Qr)
Знак радикала берется положительным, когда qr возрастает, и отрицательным, когда qr убывает. Согласно (18.2.22) имеем
Pi = fT Ы; (18.5.2)
336
СИСТЕМЫ С п СТЕПЕНЯМИ СВОБОДЫ
[Гл. ХУШ
и каждое рг является двузначной функцией от соответствующего qr; характер этой зависимости показан на рис. 65. Движение изображающей точки в <?-про-
странстве совершается внутри прямоугольного параллелепипеда
а-г ^ qr ^ br, г = 1, 2, . . ., п.
Движение изображающей точки в фа-*~ 1Г зовом пространстве происходит в области, получающейся путем расширения этого параллелепипеда за счет р, вычисляемых по формулам (18.5.2) (рис. 65). Движение этого типа называется квазипериодическим; ниже мы дадим объяснение этому термину. Рассмотрим преобразование лагранжевых координат qr к новым координатам 0Г, определяемым уравнениями
Рис. 65.
es = у [ ydir
t=I
s = l, 2, .. ., п,
(18.5.3)
или, более точно, уравнениями
п ?г
Si
1 (ir
s = 1, 2, . . ., re.
(18.5.?)
Лагранжева координата qr лежит в интервале ат ^ qr ^ br, и при преобразовании координат предполагается, что каждое qT совершает колебание между пределами ат и Ъг (как в действительном движении). Радикал Vfr(zr) берется положительным, если хг возрастает, и отрицательным, если хг убывает. Таким образом, 8 оказывается неоднозначной функцией от q и имеет
дискретную систему значений, зависящую от траектории, по которой изображающая точка переходит из положения а в положение q.
Разберем простой пример. Положим п = 2 и рассмотрим четыре траектории, соединяющие точки (аь а2) и P (qlt q2) (рис. 66). Вдоль каждой из них х2 возрастает от а2 до q2. Вдоль кривых 1 и 2 х\ возрастает монотонно от а4 до qt, и значение Bi, 92 для них одинаково. Но для кривой 3 (где X1 сначала возрастает от Ь±, а затем убывает до qi )оно отлично, как и для кривой 4 (где X1 сначала возрастает до Ь4. затем убывает до аь после чего снова воз-%i растает до ^1).
Предположим теперь, что координата qT проходит полный цикл своих значений и возвращается в свою первоначальную точку, в то время как остальные координаты q остаются неизменными. В этом случае 0S получает приращение
Рис. 66.
urs dqr
VTrIgT) '
(18.5.5)
S 18.5]
КВАЗИЛЕРИОДИЧЕСКИЕ ДВИЖЕНИЯ
337
которое можно записать также в форме
ЬГ
соГ5 = 2 ( -J^L-. (18.5.6)
ат
V fr Ы
Таким образом, если G1, 02, . . ., Qn получают приращения соответственно CO7-I, (ог2, . . ., сот, то мы возвращаемся к исходной точке ^-мерного параллелепипеда с теми же самыми скоростями. Функции
Яг = ФгОь 02, . - ., OJ (18.5.7)
имеют свойство
фг (01, 02, • • •, Qn) = Фг (01 + ©si, O2 + (os2, . . ., On + cosn). (18.5.8)
Всего имеется п таких систем периодов. Предположим, что эти системы линейно независимы, т. е. || cors || фО. Тогда две точки пространства 0 будут эквивалентны одной и той же точке пространства q и даже одной и той же точке фазового пространства, если их относительные положения описываются одним из векторов Qr (с составляющими cori, ?0,-2, . . ., corn). Векторы Qr, г = 1, 2, . . ., п, линейно независимы. Более того, две точки Pi и P2 ©-пространства эквивалентны одной и той же точке фазового пространства, если