Аналитическая динамика - Парс Л.А.
Скачать (прямая ссылка):
Укажем на некоторые свойства полученного решения. Постоянная энергии а! в дальнейшем будет играть особую роль, r-я составляющая обобщенного импульса рг есть функция r-й координаты qr; в случае либрации она является двузначной функцией qr. r-я составляющая скорости qr определяется формулой
qr = сгр,.= CrVl г Ш (18.2.23)
и зависит не только от qT\ в случае либрации она двузначна и знак ее совпадает со знаком рТ.
§ 18.3. Исследование интегралов. Из уравнения (18.2.23) получаем
dqr = rrdt. = dxr> г= 1,2, ...,п. (18.3.1)
Здесь хТ есть «местное» время, введенное в § 17.3, с той лишь разницей, что теперь для каждой координаты требуются свои часы. Поскольку сТ ^ 0, знак перед радикалом берется положительным, если qr возрастает с t, и отрицательным в противном случае. Если ст не обращается в нуль, cr ^ Аг > 0, и функция fr (qr) непрерывна, то представление об общем характере gv-движе-ния можно получить из уравнения (18.3.1). «Местное» время хг стремится к бесконечности вместе с t, и характер изменения qr зависит от расположения вещественных нулей функции fr (qr)- Если в начальный момент qr расположено между последовательными простыми вещественными нулями аг, Ъг функции fr (qT) (так что fT (qr) > 0 при ar < qr <. br), то движение по координате qr является либрацией. Если же qr в начальный момент лежит вблизи двойного нуля аг функции /г (gv), то мы имеем лимитационное движение, при котором qr —> аг, когда t—>¦ оо. Либрация представляет собой колебательное движение между пределами ат и br, продолжающееся неограниченно долгое время; в общем случае оно це является периодическим по t. Как и в случае системы с двумя степенями свободы (§ 17.3), движение по одной координате в некотором смысле можно рассматривать независимо от движений по остальным координатам; это является характерным свойством разделимых систем.
334
СИСТЕМЫ C п СТЕПЕНЯМИ СВОБОДЫ
[Гл. XVIII
Уравнения (18.3.1) можно вывести и другим способом. Из уравнений (18.2.20), (18.2.21) следует, что
п п
У = 1, У "l_L-=0, « = 2,3, ...,л. (18.3.2)
? V fr (9r) V/r (Яг) К
Сравнивая эти уравнения с (18.2.2), приходим к уравнениям (18.3.1).
Остановимся коротко на случае, когда ег может обращаться в нуль. Может случиться, что при t ->- оо ст О или что ст обращается в нуль в некоторой точке q, обычно в точке, лежащей на границе той области ^-пространства, для которой q имеет физическое истолкование.
Предположим сначала, что ст -> О (в действительном движении), когда ?->-оо. Тогда хг может стремиться к конечному пределу, когда t ->- оо (см. § 17.3), и в этом случае ^,.-движение есть псевдолимитационное движение. Если в начальный момент Яг Рас~ полагается в интервале между последовательными простыми вещественными нулями аг, Ьт функции fT (q'T), то Яг яе совершает либрации, продолжающейся неограниченно долгое время, как это можно было ожидать, а вместо этого с ростом t стремится к пределу I (ат ^ I ^ Ъг) после, быть может, конечного числа колебаний. Если же qr первоначально находится в окрестности кратного нуля функции fT (qr), то qr стремится к пределу вблизи кратного нуля.
Мы знаем, что сг ^ О и в общем случае сг (зависящее от всех q, кроме qT) положительно. Но может существовать точка q, в которой сг обращается в нуль, и тогда наши выводы относительно ду-движения, сделанные на основании уравнений (18.3.1), могут претерпеть изменения. В качестве примера рассмотрим случай, когда сг имеет вид (qr — qr0) яр,, где ipr (qi, q2, ¦ . ., qn) > A1. > 0. При этом каждый элемент urs г-ж строки матрицы и имеет, вообще говоря, простой полюс в точке qr0 (это следует из уравнений (18.2.2)). Функция fr (qr) уже не является непрерывной и имеет простой полюс в точке qr0. Уравнение (18.3.1) записывается теперь так:
dqr г=,),,. Л. (18.3.3)
У(Ят-Яго)* fr (Яг)
Функция под знаком радикала имеет в точке qr0 простой нуль. Отсюда следует, что qra может служить одним из пределов либрационного движения для qT, хотя qr0 является полюсом, а не нулем функции fr (qr). С этим случаем мы встречаемся, например, в задаче о ньютоновом притяжении к двум центрам (§ 17.10). Уравнение (18.3.1) для Я. принимает вид
Л W~c'dt. (18.3.4)
2(Ct1X-S+ M+ a2) Х2 — (iS
X2—Ca
Здесь Х = с является простым нулем функции C1 и простым полюсом функции Z1 (X), и уравнение (18.3.4) соответствует уравнению (17.10.13), в котором с есть простой нуль функции R.
Особенности такого типа обычно нетрудно обнаружить в конкретных задачах.
§ 18.4. Дополнительные замечания к теореме Штеккеля. 1) Теорему Штеккеля можно выразить через п первых интегралов уравнений движения Лагранжа для системы, определяемой формулами (18.2.1) — (18.2.3). В самом деле, уравнения (18.2.23) можно представить в форме
1 о2
"2 + wr = «l"ri + «2Mr2 + • •. + «n"rn- (18.4.1)
Отсюда получаем
п
1 q\
2 Vrs (т7Г+Шг) = а8' s=i,2,...,n, (18.4.2)
где V — матрица, обратная матрице и (см. (18.2.5)).
§ 18.5]
КВАЗИПЕРИОДИЧЕСКИЕ ДВИЖЕНИЯ
335.
