Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Парс Л.А. -> "Аналитическая динамика" -> 147

Аналитическая динамика - Парс Л.А.

Парс Л.А. Аналитическая динамика. Под редакцией Рубашева А.Н. — М.:Наука, 1971. — 636 c.
Скачать (прямая ссылка): analitdinamik1971.djvu
Предыдущая << 1 .. 141 142 143 144 145 146 < 147 > 148 149 150 151 152 153 .. 290 >> Следующая


*) См. P. S t a с k е 1, Ueber die Integration der Hamilton-Jacobi'schen Differentialgleichung mittels Separation der Variabein, Habilitationsschrift, Halle, 1891. Другие работы Штеккеля о его теореме см. в Comptes Rendus, 1893, стр. 485—487, 1284—1286; Comptes Rendus, 1895, стр. 489—492. Теорему Штеккеля можно получить непосредственно из уравнений Лагранжа без ссылки на теорему Гамильтона — Якоби; см., например, An elementary proof of Stackel's theorem, American Mathematical Monthly, Vol. LVI, No. 6, стр. 394—396.

§ 18.2]

ТЕОРЕМА ШТЕККЕЛЯ

331

Рассмотрим систему, для которой

7-TS*rf = TS??. (18-2.1)

T= 1 г— 1

Заметим, что qr = сгрг. Коэффициенты ст и потенциальная функция V являются заданными функциями лагранжевых координат ди q2, ¦ . ., qn, принадлежащими к классу C1 в соответствующей области пространства; кроме того, сг >0.

Теорема Штеккеля утверждает, что система допускает разделение переменных тогда и только тогда, когда существуют неособая матрица (urs) размером п X п, элементы которой uTS зависят только от qT, и матрица-столбец {wi, w2, . . ., Wn}, где wr зависят только от qr, такие, что

п

2crwrs = 6f, s=l,2, ...,п, (18.2.2)

П

2 crwr = V'. (18.2.3)

Прежде чем переходить к доказательству теоремы, заметим следующее. Условие (18.2.2) можно записать так:

с'и = (1, 0, 0, . . ., 0). (18.2.4)

Здесь и обозначает матрицу (uTS), ас — матрицу-столбец {C1, с2, . . ., Cn}. В матрицах и и w r-я строка содержит только одну координату qT. Если v — матрица, обратная матрице и, то сТ и V имеют следующие выражения:

п

Cr = viT, V= 2 virwr. (18.2.5)

T=i

Перейдем теперь к доказательству теоремы. Сначала докажем, что условия (18.2.2), (18.2.3) являются необходимыми. Предположим, что переменные разделяются, т. е. что модифицированное уравнение в частных производных

iiMfr)2+F=a> <18-2-6)

г=1

имеет полный интеграл вида

К = Ki + K2 + . . . + Kn, (18.2.7)

где

Кт = Кт (gv, осі, OC2, . . ., OCn). (18.2.8)

Подставим это выражение полного интеграла в уравнение (18.2.6); оно будет удовлетворяться тождественно для всех значений q и а в соответствующей области. Дифференцируя частным образом по каждому а, получаем

дК дШ ,

Zi Cr dqr daidqT

r=1 > (18.2.9)

Vc дК дШ -О s-2 3 п

T= і j

Коэффициент при Cr в каждом из этих уравнений зависит только от qr, поскольку К имеет форму (18.2.7); определитель из этих коэффициентов равен

A==4^^...Aq_^_i|. (18.2.10)

dqi Oq2 Ogn \\ daToqs II

Он отличен от нуля, поскольку К есть полный интеграл.

332

СИСТЕМЫ C п СТЕПЕНЯМИ СВОБОДЫ

[Гл. XVIII

Возьмем теперь некоторую систему значений CC1, CC2, . . ., Ccn такую, чтобы определитель А не обращался в нуль. Тогда уравнения (18.2.9) примут форму

2 CrUrl — 1,

г=1

2 crurs = О, s = 2, 3, . .., п,

t=I )

(18.2.11)

т. е. будут иметь форму (18.2.2) с ||urS||^=0. Далее.

г=«.-т S^ (ж)2= І> 'і (Dr)2} • <18-2-12)

г—1 г—1

п

т. е. имеет вид 2 crw7r- Таким образом, мы доказали необходимость указанных

условий для того, чтобы система допускала разделение переменных.

Докажем теперь, что эти условия и достаточны. Затем, считая, что эти условия выполняются, перейдем к нахождению интегралов уравнений движения и исследованию движения.

Модифицированное уравнение в частных производных имеет вид

п

где CC1 = h есть одна из произвольных постоянных, входящих в выражение полного интеграла. Так как по нашему предположению условия (18.2.2), (18.2.3) выполняются, то уравнение (18.2.13) можно записать в следующей форме:

п п

п п п

= Щ 2 CrUr1 + CC2 2 CrUr2 + . . . + CCn 2 CrUm,- (18.2.14) г=1 г=1 г= і

где Ct2, сс3, .... CCn—произвольные постоянные. Его можно записать также в виде

п

2 е' {у (l^r)2 — (ai"ri +CC2Wr2+ . .. + сад.,,-и?г) j=0. (18.2.15)

Теперь очевидно, что сумма

K1 + K2 + ... + Kn, (18.2.16) в которой функции КТ определяются из уравнений

{^ягУ = 2 (ai"n +«2^2+ • • .-^anUrn-Wr), (18.2.17)

представляет полный интеграл.

Обозначим правую часть уравнения (18.2.17) через /г (ду). Эта функция зависит только от r-й координаты и содержит постоянные Ct1, ct2, . . ., Ctn. которые входят в ее выражение линейно. Кроме того,

#r = j Vfr (Яг) dqr, (18.2.18)

«j 18.3]

ИССЛЕДОВАНИЕ ИНТЕГРАЛОВ

333

или, точнее,

Кт = ^ VTrIx) dx. (18.2.19)

Нижний предел интеграла берется, как обычно, равным либо абсолютной постоянной, либо значению простого нуля функции fr {qr). Интегралами уравнений движения будут

п

-Р'-?-|ї^^' ' = 2,3,...,», (18.2.21)

Р* = ^ = У7Ж), S= і, 2, п. (18.2.22)

Решение динамической задачи, таким образом, сводится к квадратурам. Уравнение (18.2.21) определяет траекторию в (/-пространстве (безотносительно ко времени). Уравнения (18.2.20), (18.2.21) дают решение задачи Лагранжа о движении в g-пространстве, а уравнения (18.2.20) — (18.2.22) — решение задачи Гамильтона о движении в фазовом пространстве.
Предыдущая << 1 .. 141 142 143 144 145 146 < 147 > 148 149 150 151 152 153 .. 290 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed