Аналитическая динамика - Парс Л.А.
Скачать (прямая ссылка):
*) См. P. S t a с k е 1, Ueber die Integration der Hamilton-Jacobi'schen Differentialgleichung mittels Separation der Variabein, Habilitationsschrift, Halle, 1891. Другие работы Штеккеля о его теореме см. в Comptes Rendus, 1893, стр. 485—487, 1284—1286; Comptes Rendus, 1895, стр. 489—492. Теорему Штеккеля можно получить непосредственно из уравнений Лагранжа без ссылки на теорему Гамильтона — Якоби; см., например, An elementary proof of Stackel's theorem, American Mathematical Monthly, Vol. LVI, No. 6, стр. 394—396.
§ 18.2]
ТЕОРЕМА ШТЕККЕЛЯ
331
Рассмотрим систему, для которой
7-TS*rf = TS??. (18-2.1)
T= 1 г— 1
Заметим, что qr = сгрг. Коэффициенты ст и потенциальная функция V являются заданными функциями лагранжевых координат ди q2, ¦ . ., qn, принадлежащими к классу C1 в соответствующей области пространства; кроме того, сг >0.
Теорема Штеккеля утверждает, что система допускает разделение переменных тогда и только тогда, когда существуют неособая матрица (urs) размером п X п, элементы которой uTS зависят только от qT, и матрица-столбец {wi, w2, . . ., Wn}, где wr зависят только от qr, такие, что
п
2crwrs = 6f, s=l,2, ...,п, (18.2.2)
П
2 crwr = V'. (18.2.3)
Прежде чем переходить к доказательству теоремы, заметим следующее. Условие (18.2.2) можно записать так:
с'и = (1, 0, 0, . . ., 0). (18.2.4)
Здесь и обозначает матрицу (uTS), ас — матрицу-столбец {C1, с2, . . ., Cn}. В матрицах и и w r-я строка содержит только одну координату qT. Если v — матрица, обратная матрице и, то сТ и V имеют следующие выражения:
п
Cr = viT, V= 2 virwr. (18.2.5)
T=i
Перейдем теперь к доказательству теоремы. Сначала докажем, что условия (18.2.2), (18.2.3) являются необходимыми. Предположим, что переменные разделяются, т. е. что модифицированное уравнение в частных производных
iiMfr)2+F=a> <18-2-6)
г=1
имеет полный интеграл вида
К = Ki + K2 + . . . + Kn, (18.2.7)
где
Кт = Кт (gv, осі, OC2, . . ., OCn). (18.2.8)
Подставим это выражение полного интеграла в уравнение (18.2.6); оно будет удовлетворяться тождественно для всех значений q и а в соответствующей области. Дифференцируя частным образом по каждому а, получаем
дК дШ ,
Zi Cr dqr daidqT
r=1 > (18.2.9)
Vc дК дШ -О s-2 3 п
T= і j
Коэффициент при Cr в каждом из этих уравнений зависит только от qr, поскольку К имеет форму (18.2.7); определитель из этих коэффициентов равен
A==4^^...Aq_^_i|. (18.2.10)
dqi Oq2 Ogn \\ daToqs II
Он отличен от нуля, поскольку К есть полный интеграл.
332
СИСТЕМЫ C п СТЕПЕНЯМИ СВОБОДЫ
[Гл. XVIII
Возьмем теперь некоторую систему значений CC1, CC2, . . ., Ccn такую, чтобы определитель А не обращался в нуль. Тогда уравнения (18.2.9) примут форму
2 CrUrl — 1,
г=1
2 crurs = О, s = 2, 3, . .., п,
t=I )
(18.2.11)
т. е. будут иметь форму (18.2.2) с ||urS||^=0. Далее.
г=«.-т S^ (ж)2= І> 'і (Dr)2} • <18-2-12)
г—1 г—1
п
т. е. имеет вид 2 crw7r- Таким образом, мы доказали необходимость указанных
условий для того, чтобы система допускала разделение переменных.
Докажем теперь, что эти условия и достаточны. Затем, считая, что эти условия выполняются, перейдем к нахождению интегралов уравнений движения и исследованию движения.
Модифицированное уравнение в частных производных имеет вид
п
где CC1 = h есть одна из произвольных постоянных, входящих в выражение полного интеграла. Так как по нашему предположению условия (18.2.2), (18.2.3) выполняются, то уравнение (18.2.13) можно записать в следующей форме:
п п
п п п
= Щ 2 CrUr1 + CC2 2 CrUr2 + . . . + CCn 2 CrUm,- (18.2.14) г=1 г=1 г= і
где Ct2, сс3, .... CCn—произвольные постоянные. Его можно записать также в виде
п
2 е' {у (l^r)2 — (ai"ri +CC2Wr2+ . .. + сад.,,-и?г) j=0. (18.2.15)
Теперь очевидно, что сумма
K1 + K2 + ... + Kn, (18.2.16) в которой функции КТ определяются из уравнений
{^ягУ = 2 (ai"n +«2^2+ • • .-^anUrn-Wr), (18.2.17)
представляет полный интеграл.
Обозначим правую часть уравнения (18.2.17) через /г (ду). Эта функция зависит только от r-й координаты и содержит постоянные Ct1, ct2, . . ., Ctn. которые входят в ее выражение линейно. Кроме того,
#r = j Vfr (Яг) dqr, (18.2.18)
«j 18.3]
ИССЛЕДОВАНИЕ ИНТЕГРАЛОВ
333
или, точнее,
Кт = ^ VTrIx) dx. (18.2.19)
Нижний предел интеграла берется, как обычно, равным либо абсолютной постоянной, либо значению простого нуля функции fr {qr). Интегралами уравнений движения будут
п
-Р'-?-|ї^^' ' = 2,3,...,», (18.2.21)
Р* = ^ = У7Ж), S= і, 2, п. (18.2.22)
Решение динамической задачи, таким образом, сводится к квадратурам. Уравнение (18.2.21) определяет траекторию в (/-пространстве (безотносительно ко времени). Уравнения (18.2.20), (18.2.21) дают решение задачи Лагранжа о движении в g-пространстве, а уравнения (18.2.20) — (18.2.22) — решение задачи Гамильтона о движении в фазовом пространстве.