Аналитическая динамика - Парс Л.А.
Скачать (прямая ссылка):
где с + к = —[i/h. Рассмотрим случай, когда движение не есть движение вдоль прямой, проходящей через точку О. Пусть h < 0, скажем, h = —и./(2я); тогда с и к положительны и с + к = 2а. Дифференциальное уравнение орбиты имеет вид
du dv , „ , , ,
(17.14 4)
Vit(c —ы) ~]/v(k — v) Если ввести параметры ф и -ф, связанные с и и v формулами
1 1
u = -^-c(l —-costp), v = —k(l — costy), (17.14.5)
то уравнение (17.14.4) примет вид ац> = ±А|5 и выражение ф + будет постоянным. •Положим
ц> \р= 2а, (17.14.6)
причем х не равно нулю и не кратно л (в противном случае движение совершалось бы по прямой, проходящей через точку О). Таким образом,
cos ф cos г|) + sin ф sin \f> = cos 2х. (17.14.7)
Учитывая формулы
-^-ссовф = — с— и, -у с sin ф = Yu (с — и), — к cos г|) = -= к — V, — к sin \f>= Yv (к — v)i
(17.14.8)
находим
(ки + cv — ск sin2 х)2 = ickuv cos2 х = ску2 cos2 х. (17.14.9)
Уравнение орбиты записывается теперь так:
ки + cv — ск sin2 х = ± Yck У cos и (17.14.10)
или ^поскольку и = —(г-|-г) и v = A (г— х)^
11 _
— (c + k)r = — (c — k)x±Yc/c У cosx + cA sin2 и. (17.14.11)
Уравнение (17.14.11) эквивалентно соотношению
г= ер, (17.14.12)
в котором р обозначает длину перпендикуляра, опущенного из точки х, у на линию А, \ _
-=(с — к)х± Ycky cos X+ ca sin2 X = 0. (17.14.13)
Для точек, лежащих по одну сторону от Я, с точкой О, знак р берется положительный. Параметр е определяется из формулы
с, + кг + гск CQS2X с2 + А2 + 2сА ^
Орбита представляет собой эллипс с фокусом в точке О и директрисой Я.
Глава XVIII
СИСТЕМЫ С п СТЕПЕНЯМИ СВОБОДЫ, ДОПУСКАЮЩИЕ РАЗДЕЛЕНИЕ ПЕРЕМЕННЫХ
§ 18.1. Система Лиувилля*). В § 17.2 мы видели, что система с двумя степенями свободы допускает разделение переменных, если ее кинетическая и потенциальная энергии имеют следующие выражения:
V-
І + ч
(18.1.1)
X + Y '
где X, Р, I — функции только от х, a Y, Q, V) — функции только от у. Обобщим эти выражения на случай системы G п степенями свободы. Тогда будем иметь
1
(X1 + X2+ ...+Xn) (Ъ-+$-+...+ **-) =
(PiPl+P 2Pl+ ...+PnPl) , ^
V
2 (X1 + X2+... +Xn)
(18.1.2)
Xl +-^2+ • • • +Xn '
где X7-, Рт, ?г являются функциями от qr. Подобные системы называют системами Лиувилля, и, естественно, встает вопрос о возможности разделения переменных в таких системах.
Покажем, что переменные разделяются. Модифицированное уравнение в частных производных для системы (18.1.2) может быть записано в форме
S {тМ-І-)'+Єг}=«'Іі*'- (18.1.3).
r=l
r=l
Сразу получаем полный интеграл
K = K1 +K2+. .. + Kn. Функции КТ = Кт (qr) определяются из уравнений
\pr(^r)'1^a1X1. — Ь — ar, г = 2,3, п,
где через а0 обозначена сумма а2 + а3+ . . . + ап. Среди п произвольных постоянных OC1, а2, . . ., ап постоянная энергии а4 = h играет особую роль. В обозначениях, принятых в § 16.9, полный интеграл записывается в виде
(18.1.4)
(18.1.5) (18.1.6)
К=]УГ(«і**-»1 + «O)^i+S 5 V-1T^iXr-Ъ-vT)aqr. (18.1.7)
*) Система Лиувилля впервые рассматривалась в Journal de math., XIV, 1849, стр. 257. Интегрирование можно выполнить непосредственно с помощью уравнений Лагранжа, не прибегая к теореме Гамильтона — Якоби; см., например, Уиттекер [27]. Другое элементарное доказательство см. далее в этой книге (§ 26.9).
330
СИСТЕМЫ С п СТЕПЕНЯМИ СВОБОДЫ
[Гл. XVIII
Таким образом, система допускает разделение переменных, и интегралы лаг-ранжевых уравнений движения имеют вид
о _f X1 dqi у Г XTdqr
"Pl J VOT^f2J Уф7?Г J (18Л8)
-P'=Jv%t-Jv%=T' s = 2'3' ->»>
J Уфі (?l) J VVs(Qs) J
1
где
Фі (Qi) = 2Pi (Ci1X1 — It + a0), Фг (gr) = 2Pr (Cc1Xr — Ir — ccr),
l, 3, ..., n. }
(18.1.9)
Интегралы уравнений Гамильтона получаются путем присоединения к уравнениям (18.1.8) уравнений
Рг = ^=^Учг~Ы. (18.1.10)
Мы поступаем здесь так же, как и в случае системы с двумя степенями свободы. Интегралы лагранжевых уравнений движения записываем в следующей краткой форме:
Uq1 _ dq2 _ _ dqn _ dt
Уфі (?l) Уфг(?2) "'' V Vn(Qn) X1+ X2+...+Xn
= йт. (18.1.11)
Здесь т играет роль «искусственного времени» (см. § 17.3). Уравнения (18.1.11), между прочим, можно сразу получить из (18.1.8) или, еще проще, путем сравнения (18.1.10) с уравнениями
Pr = Xi+X2+p;-+XnqT. (18.1.12)
Общий характер движения можно представить себе совершенно так же, как и в простом случае двух степеней свободы. Появление радикалов в знаменателях соотношений (18.1.11) не является неожиданным. В случае либ-
рационного движения знак перед радикалом ]/фг (qT) выбирается следующим образом: если qr возрастает, берется знак плюс, а если дг убывает — то знак минус. Более подробное исследование будет проведено в следующем параграфе, где рассматривается более общая система, чем система Лиувилля.
§ 18.2. Теорема Штеккеля *). В этом параграфе мы рассмотрим центральную теорему теории разделимых систем. Естественно поставить вопрос: какова наиболее общая форма разделимой системы? Исчерпывающего ответа на этот вопрос пока нет. Но если ограничиться рассмотрением ортогональных систем (т. е. таких систем, у которых выражение для T содержит только квадратичные члены по Q или р и не содержит произведений), то ответ дается теоремой Штеккеля, которую мы сейчас докажем. Рассмотренная выше система Лиувилля принадлежит к классу разделимых ортогональных систем, но не является ортогональной системой самого общего вида.
