Аналитическая динамика - Парс Л.А.
Скачать (прямая ссылка):
H =T2 + V-T0 = y (pf + p2 +-^p$)-y<oW-yk2u)2sin2Q-Wsin at. (16.12.1) Дифференциальное уравнение Гамильтона имеет вид
2 it + (? 2 + (.^kY + TF (ж) 2-шаЧ2-^2 яіая 9-2*n sin (Di = O. (16.12.2) Выражение
S = си! + © + F(r\, t) (16.12.3) ¦есть полный интеграл, если функция 0 удовлетворяет уравнению
в'2 = А:2 («1 + Zc2Cu3 sin2 0), (16.12.4)
16.13]
ЭЛЕКТРОН В ЦЕНТРАЛЬНОМ ПОЛЕ
299
-а функция F — уравнению
2~дТ+[~д~ї) + af + а§-0)2^2_2етsin coi = 0. [(16.12.5) Последнее имеет решение вида
/г'=і-й>т]2 + т]<р + г|5, (16.12.6) где ф и \f> —. функции от t, удовлетворяющие уравнениям
ф + соф = g- sin cat (16.12.7)
и
2гр+ф2+а!+а! = 0. (16.12.8)
Таким образом,
ф = а2е-и( +-§-- (sin сої—cos cot) (16.12.9)
и полный интеграл имеет вид 6
•S = Gt1I + * j YaI + /с2со2 sin2 6 <Ю4-~2- (UT)2 + о
t
+ |a2e_u)(+-^-(sincof—coscui)| т]—i-(a| —а§) t—•i j ф2й (16.12.10)
о
"(мы здесь воспользовались обозначениями § 16.9). Решение задачи Лагранжа дается уравнениями
-?i = -|^—Б-а* (16.12.11)
t
oS f dw
0
e
oS Г dO
— B3 = ^—«»A;a3 \ _, . — q3f. (16.12.13)
Уравнение (16.12.11) приводит, как и следовало ожидать, к равномерному движению по I, а уравнение (16.12.13) приводит к соотношению
e2 = co2sin2e + (al//c2), (16.12.14)
откуда получаем
ё = со2 cos 0 sin 0 (16.12.15)
в полном согласии с (8.11.2). Остается найти зависимость т) от t. Из уравнения (16.12.12) получаем
T1= - ?^'+^-shco*--^ sincoi, (16.12.16) что эквивалентно (8.11.3).
§ 16.13. Электрон в центральном поле. Предположим, что электрон, масса которого переменна (см. (11.1.1)), движется в плоскости под действием притяжения к началу координат; потенциал поля обозначим через V (г). В полярных координатах функция Гамильтона (см. (11.4.12)) запишется в виде
H = C]/my+pr + ^r pi -щс' + V. (16.13.1)
Это — не обычное выражение, в котором H есть квадратичная функция от р, но тем не менее метод Гамильтона — Якоби остается справедливым. Модифи-
300
ТЕОРЕМА ГАМИЛЬТОНА _ ЯКОБИ
[Гл. XVI:
цированное уравнение в частных производных имеет вид Полный интеграл ищем в виде
К = а0 + R.
Это выражение удовлетворяет уравнению (16.13.2), если
(16.13.2) (16.13.3)
(16.13.4)
Обозначая правую часть (16.13.4) через / (г), получаем следующее выражение для полного интеграла:
К = ав +
\Vf(r)
dr
(16.13.5)'
(мы здесь воспользовались обозначениями § 16.9). Решение задачи Гамильтона дается уравнениями
¦dr,
-*о =
дК
dh
1 Г m0c^ + h —
с2 J VW)
-?=
дК
- в f а/г2
да
J V fir)
Pr =
дК дг
= VW),
Pe =
дК 59
= OL.
dr.
(16.13.6)
Ho согласно (11.4.9) имеем
m0r
Pe-
т0гЩ
уг-
- V2/с2
ньютоновского
Рассмотрим подробнее случай ц = Ze2 > 0. Функция j
h (2-0 + ^) +2(X (то+ ¦ *-) 1_а2 (1 __|_)
(16.13.7) притяжения, когда.
V = —р,/г, ц = Ze2 > 0. Функция / (г) в этом случае имеет вид
1
(16.13.8)
Будем считать, что h <С 0; если частица начинает движение со скоростью и из точки, находящейся на расстоянии к от точки О, то согласно (11.4.5) будем, иметь
1_i (__
h = т0с2
[v^+~T1
(16.13.9)
и условие Ti <0 будет выполняться, если
кто
1+
2m.0A:c2
V1^ тфс* )
(16.13.10)
(При с—>- оо мы приходим к известному условию, определяющему эллиптическую орбиту в случае постоянной массы: т0ки? < 2ц.) Можно принять, что 2т0 + (лУс2) > 0 и са > ц; эти неравенства обычно всегда выполняются, вследствие того что с велико. При этих условиях функция / (г), зависящая от 1/г по квадратичному закону, имеет два вещественных положительных нуля и
/(D = OC2A2^L-L) (I6.i3.il)
§ 16.14]
ПФАФФОВА ФОРМА VTdqr — H dt
301
где
^=1—(16.13.12) Уравнение траектории имеет вид
JL(8 + ?)=f--ш. (16.13.13)
V 1МУ J Ш1/Г1)-(1/г)1[(1/г)-(1/г2)П1/2
Полагая
находим и уравнение принимает вид
Ч(і+і)+-НІ-і)со^' <1в-13-14>
Я (9 + ?) = яр, (16.13.15)
l=i(i + i).+{(i-i)-sMe+?). (16.13.16)
При K = I это есть уравнение эллипса. В действительности же Я< 1, и траектория оказывается незамкнутой; для того чтобы значение г повторилось, угол 0 должен увеличиться на 2л/К (> 2я).
Если начальная точка, отстоящая от начала О на расстоянии к, есть апсида, то формулы упрощаются: к становится равным одному из апсидаль-ных расстояний T1 или г2, и мы эту величину берем в качестве нижнего предела интегралов, кроме того, t0 = 0, ? = 0,
т0ки
а =
(16.13.17)
Если
.Ji- л/ і і ^2 ^
то апсидальное расстояние /с будет расстоянием до перигелия; при с —>- оо это неравенство принимает хорошо известную форму: т0ки? > ц..
§ 16.14. Пфаффова форма pr t?gy — If Вернемся к теореме об эквивалентности (§ 16.3). Мы видели, что уравнение Пфаффа
Pr dqT — H dt = dip + со (16.14.1)
эквивалентно гамильтоновым уравнениям движения и, обратно, из уравнений Гамильтона следует уравнение (16.14.1). Были решены уравнения относительно q и р, причем решение содержало 2п независимых параметров ух, 7г, • • ч 72П- От этих же параметров зависят коэффициенты Ks пфаффовой формы со:
