Аналитическая динамика - Парс Л.А.
Скачать (прямая ссылка):
К = осО -f- R, (16.9.3)
*) См., например, Ш.-Ж. дела Валле-Пуссен, Курс анализа бесконечно малых, Л.— M., Гостехиздат, 1933, том II, гл. I, § 23.
296
ТЕОРЕМА ГАМИЛЬТОНА — ЯКОБИ
[Гл. XVI
где R есть функция от г. Функция (16.9.3) удовлетворяет уравнению (16.9.2), если
i?'2 = 2A-2F"-™. (16.9.4)
Обозначим правую часть уравнения (16.9.4) через / (г). Тогда
Я = аО+j]/ 2ft-2F(?)—|id? = ae+ JK/(g)dg. (16.9.5)
a a
Здесь а есть простой нуль функции / (г) (см. § 16.7); в большей части случаев движение представляет собой либрацию по г между двумя простыми нулями а и Ъ функции / (г), причем / (г) > 0, когда a < г < 6. Решение задачи Лагранжа (движение частицы в плоскости) дается уравнениями
-? = 8-a f JJ^Il . (16.9.7)
Мы получили решение, найденное нами ранее в примере 5.2В; уравнение (16.9.6) совпадает с (5.2.41), а уравнение (16.9.7) — с (5.2.43).
Сделаем одно замечание относительно обозначений. В интегралах, встречающихся в формулах (16.9.5) — (16.9.7), буква г в одних случаях обозначает переменную интегрирования, а в других — верхний предел. Например, формула (16.9.6) иногда записывается так:
Vf (г)
Конечно, не очень хорошо, что одна и та же буква применяется в различных смыслах, но на это можно пойти ради удобства, надеясь, что это не явится источником недоразумений.
§ 16.10. Сферический маятник. Будем пользоваться обозначениями, принятыми в примере 5.2А, и угол 0 будем отсчитывать от направленной вверх вертикали. Тогда будем иметь
r = Tma2(02 + sin20cp2), V = mga cos 0 = та?п2 cos в, (16.10.1) где n2 = g/a. Опуская положительный множитель та2, можем написать
Г = 1(62+-Sm2OcJ)2), F = M2COsO (16.10.2)
и
H = L(pb+ ^q Pl)+ n2cosQ. (16.10.3)
Модифицированное уравнение в частных производных будет иметь вид
Решение его ищем в виде
К = «со + в, (16.10.5)
§ 16.11]
ВРАЩАЮЩИЙСЯ ВОЛЧОК
297
где 9 определяется из уравнения
в'2 = 2й—2га2 cos 9-
-шг- (16Л0-6>
Обозначив правую часть уравнения (16.10.6) через / (0), получим полный интеграл в следующем виде:
К = ац> + ]Vf
(16.10.7)
Нижний предел интеграла равен абсолютной постоянной или является простым нулем функции / (6).
Интегралы лагранжевых уравнений движения имеют вид
t-t0:
дК
dh
дК
dl
VTW) *
(16.10.8)
* Vf(D
Если здесь положить h = n2h', а2 = 2п2а', то получим
е
dl
vb*-^] +
VF(I) в
cp-b?=/r7 f-=—
Т ^ J singly F
(I)
где
что находится в полном согласии с результатами § 5.2.
(16.10.9)
(16.10.10)
§ 16.11. Вращающийся волчок. Будем определять положение тела с помощью углов Эйлера (см. § 8.6), причем ось Oz направим вертикально вверх. Тогда будем иметь
T = A А (О2 + sin2Єф2)+^С*(гр-fcfcos0)2, V = MglcosQ. (16.11.1)
Выбранные нами координаты не ортогональны, так что выразить T через переменные р сразу не удается. Можем написать
Следовательно,
рв = AQ, ^
рф = A sin2 0ф + С cos 0 (op -f- ср cos 0), Pv = С (op + ф cos 0).
A sin2 0ф = рф — ру cos 0.
(16.11.2) (16.11.3) (16.11.4)
(16.11.5)
Таким образом, получаем H = T + V = A-p% + 2A\n2Q (Ptf P\j/ cos 0)2 -| 2^т~ Pv + MgI cos 0, (16.11.6)
и модифицированное уравнение в частных производных записывается в форме
1 / дК \2 і і дК дК Qv2 і / дК \2 T ("Sr) +-ra2F(-ftp--^cose) +1T Ur) =2(А-ВДсо8в).
(16.11.7)
298
ТЕОРЕМА ГАМИЛЬТОНА — ЯКОБИ
[Гл. •XVI
Координаты ф и ар являются циклическими, поэтому решение ищем в виде
К = а2ср + CC3Ip ¦+ в. (16.11.8)
Оно удовлетворяет уравнению (16.11.7), если
®'2 = 2A(h-MgIcos Є) - (a2~^e°S9)2 - T < (16.11.9)
Обозначая правую часть уравнения (16.11.9) через /(6), получаем следующее выражение для полного интеграла:
е
К = а2ср + а3Ц + J/7(1) dl, (16.11.10)
во
где G0 есть абсолютная постоянная или простой нуль функции / (0). Решение задачи Лагранжа" дается формулами
е
t-ta = ~=A С Д. , (16.11.11)
т I Vf(I)
-Ь-^-ч-^-ІЇТ* У% ' (16Л1Л2)
во
-^ЧйН"! {^-^(«,-«,cosg)}-^=-. (16.11-13)
во
Второе из этих соотношений устанавливает связь между 6 и ср, т. е. положение оси волчка в пространстве, а первое дает зависимость между 0 и t. Последнее соотношение, связывающее гр и 9, обычно не представляет интереса.
Формула (16.11.11), связывающая г и 0, может быть записана в следующей форме:
Л202 = /(0). (16.11.14)
Обозначив cos 0 через z, преобразуем ее к виду
;-=2 (4—й--z) (i-Z2):-r(a°-gf. (16.11.15)
Если положить (см, S 8.6)
о, = 7>ф-Cn = 2 Ар, MgI = Aq, a2 = pv = 2AK, h — ^L = Ap, (16.11.16)
то уравнение (16.11.15) перейдет в (8.6.9).
§ 16.12. Стержень ыа вращающейся плоскости. В качестве следующего примера рассмотрим систему, исследовавшуюся нами в § 8.11. Стержень движется по гладкой плоскости, которая равномерно вращается вокруг горизонтальной оси, фиксированной в этой плоскости. Эта задача проще решается с помощью уравнений Лагранжа, но интересно также решить ее методом Гамильтона — Якоби. Согласно (8.11.1) имеем
