Введение в теорию механических колебаний - Пановко Я.Г.
Скачать (прямая ссылка):
1) отыскание вероятпостных характеристик движения системы по заданным вероятностным характеристикам внешнего воздействия (прямая задача);
2) отыскание вероятностных характеристик внешних воздействий по известным (экспериментально найденным) вероятностным характеристикам вибраций (обратная задача);
3) определение свойств системы (ее оператора и параметров) по известным (экспериментально найденным) вероятностным характеристикам на входе и выходе системы (задача идентификации);
4) синтез систем, обладающих заданными свойствами по отношению к некоторому классу внешних воздействий (задача синтеза, часто являющаяся задачей оптимизации) ,
Очень коротко остановимся на первой задаче применительно к вынужденным колебаниям линейной механической системы с одной степенью свободы.
В практических условиях случайные вынуждающие силы нередко обнаруживают определенную однородность относительно времени, они колеблются около среднего неизменного значения, причем ни их средняя амплитуда, ни общий характер заметных изменений во времени не претерпевают. Однородны во времени и некоторые виды случайного кинематического возбуждения, как, например, воздействие неровностей дороги на движущийся по ней автомобиль, конечно, при условии, что на большом протяжении качество покрытия остается практически неизменным, а автомобиль движется с постоянной скоростью.
Такие воздействия с постоянными вероятностными характеристиками относятся к категории стационарных случайных процессов. В эту категорию входят и результаты таких воздействий, т. е. вызванные ими колебания механических систем (имеются в виду колебания около устойчивого состояния равновесия).
Из стационарной случайной функции, описывающей вынуждающую силу, всегда можно выделить и вычесть ее математическое ожидание, постоянное вследствие ста-
Ю я, г. пановио
146
ГЛ. II. ВЫНУЖДЕННЫЕ КОЛЕБАНИЯ
ционарности функции; после этого рассматривается переменный «остаток»— центрированная случайная функ-
о
ция Q(t). Выразительной характеристикой ее свойств служит корреляционная функция — математическое ожи-
о о
дание произведения Q(t)Q(t + x), сомножители которого относятся к двум моментам времени, разделенным промежутком х. Эта функция оценивает степень зависимости между «сечениями» случайной функции в различные моменты времени. Если случайная функция действительно стационарна, то результаты вычислений не могут зависеть от выбора момента времени t, а будут зависеть только от абсолютной величины Ixl.
В практических случаях корреляционную функцию &q(t) получают путем обработки данных натурных наблюдений и часто представляют в виде несложных аналитических выражений типа
De~a'xl, De~ax\ De-aMcosf>t, De~ax* cos f>t
с соответственно подобранными значениями параметров D, а, р. Отметим, что в ходе такой обработки контролируется сама стационарность изучаемого процесса — по признаку независимости математического ожидания про-
о о
изведений Q (t)Q (t х) от выбора значений t. Разумеется, что для заведомо стационарного случайного процесса корреляционную функцию можно определять как мате-
о о
матическое ожидание произведения <?(0)()(х). Значение корреляционной функции при X = O представляет собой математическое ожидание квадрата стационарной случайной функции, т. е. ее дисперсию кя (O) = D.
При обсуждении детерминированных задач теории вынужденных колебаний в п. 5 § 5 и п. 5§6 колебательный процесс был представлен в виде суммы гармонических колебаний различных частот. Распределение амплитуд по различным частотам (дискретный или непрерывный амплитудный спектр) дает возможность судить о том, какого рода колебания доминируют в рассматриваемом процессе, какова его внутренняя структура. Такие спектральные представления могут относиться и к вынуждающей силе, и к координате системы q(t).
Аналогично этому стационарный случайный процесс также может быть описан суммой гармонических составляющих, но их амплитуды будут случайными величина-
§ 6. СИСТЕМЫ С ТРЕНИЕМ
147
ми. Спектром стационарной случайной функции принято называть распределение дисперсий по всем частотам. Если спектр непрерывный, то его описывают функцией S (со) — спектральной плотностью дисперсии стационарной случайной функции (часто слово «дисперсия» в этом наименовании опускают). Между спектральной плотностью S (со) и корреляционной функцией &(т) существуют соотношения
OO
к (т) = J S (со) cos (от da), (6.63)
о
OO
S (со) = — (* к (т) cos сот dr, (6.64)
Я ^
О
определяющие прямое и обратное косинус-преобразования Фурье.
Если в (6.63) положить т = 0, то для дисперсии стационарной случайной функции получится
CX)
D = к(0)= § S (co)dco. (6.65)
о
Таким образом, если корреляционная функция &в(т) известна (задана, найдена), то по выражению (6.64) находится спектральная плотность Sq (со) и можно перейти к определению колебаний механической системы, вызванных действием случайной силы. Здесь основным является соотношение
Sg(CO)= IWI2Sq(CO), (6.66)
связывающее спектральную плотность колебаний системы Sq(co) со спектральной плотностью вынуждающей силы. В этом соотношении W — частотная характеристика системы, которая для силового возбуждения была дана выше выражением (6.29), так что
