Введение в теорию механических колебаний - Пановко Я.Г.
Скачать (прямая ссылка):
После того как коэффициент Ьо найден, задача сводится к рассмотрению эквивалентной линейной системы, движение которой определяется дифференциальным уравнением (6.4). Запишем соответствующее этой задаче выражение (6.9) для амплитуды колебаний, подставив h = Ь0/2а и с — ак2:
Здесь неизвестная амплитуда А входит не только в левую часть равенства, но и в правую его часть, так как коэффициент Ьо зависит от той же амплитуды А. В связи с этим соотношение (6.56) следует рассматривать не как формулу, а как уравнение для определения амплитуды А,
п
— J R (— Acо sin tJ)) A sin dip = -у A2ab0, (6.53)
о
о
(6.54)
пАы
R(q)=bq\q\n~l и числитель выражения (6.54) равен
JP Я я/2
2 j b'(— Acо sin tJ))" sin Tjufrj) = — 4АпЬып j sinn+1 tJ) d\Jj.
0
0
(6.55)
A =
142
ГЛ. II. ВЫНУЖДЕННЫЕ КОЛЕБАНИЯ
Для построения резонансной кривой удобнее разрешить уравнение (6.56) относительно а/к:
T
Vi-^±Y (^)
а затем, задаваясь значениями А, вычислять Ь0(А) и определять соответствующие отношения а/к.
Для определения резонансной амплитуды положим в (6.56) а = к; тогда уравнение примет вид
В частности, если коэффициент Ъо определяется форму-
In Г я H
лой (6.55), можно найти А = у например, при
п = 2 (I = 0,667) получим A = j/"
Нужно отметить, что в рассматриваемых задачах амплитуда вынужденных колебаний непропорциональна амплитуде силы.
6. Влияние гистерезиса. То же соотношение энергетического баланса может быть положено в основу исследования вынужденных колебаний при наличии «частот-но-независимого» гистерезиса. Для этого нужно приравнять площадь петли гистерезиса, определяемую формулой (2.43)
Q = C5 А”+1.
работе, совершаемой за один период эквивалентной силой линейного трения. Эта работа вдвое больше правой части соотношения (6.53), вычисленной для полуперио-да, так что получаем равенство
аАп*х =пА2аЪ0.
Отсюда находим коэффициент эквивалентного линейного трения в виде
^aAn-1
и уравнение (6.56) принимает вид
А =---------- Н (6.57)
§ 6. СИСТЕМЫ С ТРЕНИЕМ
143
Решение этого нелинейного алгебраического уравнения несложно при значениях n = О (сухое трение) и п — 2; для вычислений при иных значениях п удобнее пользоваться обратной зависимостью
т-V *±4/1
аА
пН
П \2
Для резонансных условий (со = к) из (6.57) сразу находим А = \/ пН/а.
Отметим, что гистерезиспую силу трения при незатухающих гармонических колебаниях удобно описывать соотношением
R
aAn Г . 92 .
Y I-JrSigng.
(6.58)
(эллиптическая петля гистерезиса — см. рис. 6.8), которое соответствует выражению (2.43) для рассеиваемой за один цикл энергии. Если воспользоваться выражением (6.58), то можно найти установившиеся вынужденные колебания, не прибегая к методу энергетического ба-банса, непосредственно из дифференциального уравнения движения
q -J-
GC А па
-l/l-і у
sign q +
H
-J- k2q = — sin tot.
(6.59)
Это, казалось бы, сложное, нелинейное уравнение имеет весьма простое точное решение
q = A sin (cof — y) . (6.60)
Для определения Л и 1Y подставим решение (6.60) в уравнение (6.59), получим аАп
— Лео2 sin (cof — у) -f- —— cos (соt — v)
H
+ Ak2 sin (at — у) = — sin соt. (6.61)
Второй член в левой части записан без множителя sign q, так как нужная для уравнения смена знака силы тре-
144
ГЛ. II. ВЫНУЖДЕННЫЕ КОЛЕБАНИЯ
ния (при изменении знака скорости) здесь обеспечивается изменением знака косинуса. Преобразуя соотношение (6.61), получаем
Для тождественного выполнения этого равенства необходимо, чтобы выражения, стоящие в квадратных скобках, были порознь равны нулю, т. е.
Заметим, что первое из соотношений (6.62) совпадает с ранее найденным соотношением (6.57).
7. Случайные колебания*). Всюду выше было принято, что вынуждающие силы заданы как детерминированные функции времени. Такая постановка задач теории вынужденных колебаний приемлема, когда случайные составляющие внешних сил (практически всегда неизбежные) относительно малы по сравнению с основными, детерминированными составляющими. Ho в ряде прикладных задач весьма значительные вынуждающие силы в принципе не поддаются удовлетворительному детерминистическому описанию и должны считаться случайными функциями времени. Таковы, например, нагрузки на рабочие органы многих строительных и сельскохозяйственных машин, ветровые нагрузки на здания и инженерные сооружения и т. п. Co случайными функциями времени приходится иметь дело и в некоторых задачах о кинема-
(А:2 — со2) cos у + sin у — -^-J sin соt —
I аАп 1
— IЛ (к2 — со2) sin у-------------— cos у cos оit = 0.
А (к2 — со2) cos у + sin у = ~ш
А (к2 — со2) sin у — a^a cos у — О,
Отсюда находим
А =
(6.62)
*) Предполагается, что читатель знаком с основными понятиями теории вероятностей.
§ 6. СИСТЕМЫ С ТРЕНИЕМ
145
тическом возбуждении, например при апализе колебаний автомобиля, движущегося по неровной дороге, или Iipu расчетах конструкции на сейсмические нагрузки.
Теория случайных вынужденных колебаний посвящена решению задач следующих четырех типов:
