Задачи по теоретической механике для физиков - Ольховский И.И.
Скачать (прямая ссылка):
т = 2я ]/ (k2 + b2)/(a - Ь).
8.23. Рассмотрим элементарный цилиндр нити, имеющий высоту dx и
находящийся на расстоянии х от верхнего закрепленного сечения упругой
нити. Если нижнее основание нити повернуть на
угол ф, то элемент dx повернется на угол ср' = -у- ф. Момент инерции
элементарного цилиндра нити относительно оси крутильных колебаний равен
J' = = -L л<yRidx.
2 2
Плоскопараллельное движение
327
Следовательно, кинетическая энергия системы, состоящей из твердого тела и
цилиндрической нити, есть
t
Т = + у/ф2 +
о
+ Д.
о
Потенциальная энергия системы совпадает с потенциальной энергией упругой
нити
U = yX(P2'
где х - коэффициент упругости.
Таким образом, получим лагранжиан системы
и уравнение Лагранжа
/ , , па №1 \ ~ , л
// _|--------j ф + Хф = о,
откуда следует, что период крутильных колебаний твердого тела с учетом
вращения частиц упругой нити равен
2* /(т + -=?4 '
Отсюда для тонких нитей с большой степенью точности находим
т = 2 л V J /к .
8.24. Обозначим через 0 угол отклонения маятника от вертикали в
произвольный момент времени, а через х - отклонение цен-
тра масс цилиндра от положенря покоя. Тогда лагранжиан системы
JS? =¦ М х2 -f -j- m (х2 + 21х 0 cos 0 + /202) + mgl cos 0.
Координата х является циклической. Поэтому обобщенный импульс
рх = 2Мх -f m (х -f I в cos 0)
328
Динамика твердого тела
[Гл. 8
сохраняется. Так как при х=0 и 0 = а система находилась в покое, то рх =
0. Проинтегрировав по времени равенство
2Мх + т (ж + /0cos 0) = 0, (1)*
найдем
(2М + т) ж = ml (sin а - sin 0). (2)
Далее используем интеграл энергии с учетом начальных условий
(3)
М ж2 + ~т (ж2 + 2/ж 0 cos 0 + /2 02) - mgl cos 0 = - mgl cos a.
Исключая из (1) и (3) х, найдем
2М 4-т sin2 9 л? п / , \
---------------02 = 2 (g l) (cos 0 - cos а).
2м + т VS' V
Отсюда видно, что 0 изменяется в пределах 0=±а. Следовательно, как это
следует из (2), величина х изменяется от нуля до
2ml sin а
•'"max
2М + т
8.25. Проектируя обе части уравнения движения центра масс обруча на орты
цилиндрических координат, находим
Ма02 =- Rp - Mgcos0, (1)
Ma6 = R&- Mgsin0. (2)
Далее из интеграла энергии следует
-i-,/02 = Mga (cos 0 -cos а), (3)
где /- момент инерции обруча относительно оси вращения (/ = = 2Ма2).
С помощью (3) получим
0 8|П 0.
2 а
Подставляя найденные функции 0(0) и 0(0) в уравнения движения центра
масс, находим
Rp = -Mg (2cos 0-- cos a),
/?е = Mg sin 0.
Плоскопараллельное движение
329
Квадрат величины реакции подвеса равен
+ /?1 - -g- (1 - 4eos2a + 15cos20 - 16cos0eosa). 4
Дифференцируя это выражение по 0, получим
Отсюда видно, что R при 0 = 0 принимает максимальное значение
В этом случае, как нетрудно видеть,
-d^~- = -|oos0(16cosa - 30 cos 0) 30sln2 0] < 0.
Выражение для dR2/d8 обращается в нуль также при
Если угол а является острым, то 0m>a. С другой стороны, -as^Q^a. Поэтому
минимум функции R(0) достигается в точке 0=а при а -остром, а при a -
тупом в точке 0=0т- Таким образом, минимальные значения соответственно
равны
8 26. Обозначим через 0 угол отклонения радиуса-вектора центра масс
подвижного цилиндра от вертикали, а через ср угол отклонения от вертикали
радиуса подвижного цилиндра, проходящего через фиксированную на
поверхности этого цилиндра точку, которая в положении равновесия была его
наиннзшей точкой. Из условия отсутствия проскальзывания
60 = д(ф 4- 0).
Рассматривая движение цилиндра в каждый момент времени как его вращение
относительно мгновенной оси, совпадающей с
d^_ = Л!11 sin 0 (16 cos a - 30 cos 0}.
dB 4 V
К 16+ 4cos2" - 16 cos a .
причем
d?-R2
dB2 0 = 9m
>0.
2
Mg ]/1 3cos2 a (при a - остром),
(при a - тупом)
12 Зак. 4
330
Динамика твердого тела
[Гл. 8
линией соприкосновения цилиндров, кинетическую энергию подвижного
цилиндра можно записать в виде
где / = Зта2/2 - момент инерции цилиндра относительно его образующей. Из
закона сохранения энергии
(здесь ш - начальная угловая скорость цилиндра в положении равновесия)
находим
Теперь используем одно из уравнений движения центра масс подвижного
цилиндра, а именно
где Rp -составляющая реакции неподвижного цилиндра. Подставляя (1) в (2),
получим
Движущийся цилиндр не будет отрываться от поверхности неподвижного
цилиндра, если 02^О и Яр >0 одновременно для 0^0 ^я. Но
0(r) > 0, если За2 со2 >8g(b - а),
Rp > 0, если За2 ш2 > 1 \g (6- а).
Следовательно, начальная угловая скорость подвижного цилиндра должна
удовлетворять условию
8.27. Пусть масса первого тела М, второго т, расстояние между осями
вращения а, расстояние от неподвижной оси до центра масс первого тела h,
расстояние от подвижной оси вращения до центра масс второго тела Ь,
моменты инерции первого и второго тела относительно осей, проходящих
через их центры масс перпендикулярно плоскости движения, равны Mkf, mkt
соответственно.
В плоскости движения твердых тел введем декартовы координаты с началом в
неподвижной точке подвеса первого тела и
- Уф2 = ^-J --rib - af,
3 3
