Задачи по теоретической механике для физиков - Ольховский И.И.
Скачать (прямая ссылка):
7.26. Разложим функцию Дг) в ряд Фурье (k = 2n/L):
СО
/ (г) =• -Ь ^ (as cos skz + bssin skz)-,
s=\
L
2 /•
= - w (2) cos skzdz - 0, a0 = 0;
0
L
2 f 4
bs - / (z)sin skzdz ---------- 6s,2n_l
L J jis
0
и, таким образом, получим
оо
f{z)= V sin (2л - 1) kz.
' w я(2л-1) '
n-\
Теперь запишем уравнения движения заряда
х = - (r)lxf{z)\ (2)
у = <4 г//(г); (3)
г -1- - у*)Л- =0; <оо--^-. (4)
2 V ; дг rn/?2 4 7
В первом приближении движение вдоль оси z почти
равномерное,
т. е. z^z0 + vt, а уравнения движения (2) и (3) приобретают
вид
х - -coo xf (vt);
Методы усреднения
303
Здесь функция f(vt) является быстро-осциллирующей с периодом T-2nlQ, =
2nlkv = LJv. Следовательно, согласно задаче 7.19 средняя сила,
действующая на частицу, равна
f
т д
дх
2
^<aix21 J / (vl) dl 2 у,
oy \
I
j* / (vt) dt Y
(5)
(6)
Вычислим необходимое среднее значение интеграла:
s-1
= -i-V (-У
2(to)2^J \ л /
п=1
1
(?л - !)*
1 / 4 у я* 1 / L у
~~ 2 (to)2 \ л / 96 48 \ о / '
а затем получим соответствующий эффективный потенциал
U{x, у) -
т
kv
(*2 + у2)
12
(7)
Под действием силы с потенциалом (7) заряд совершает устойчивые колебания
вблизи оси системы, в то время как движение в поле отдельной линзы
приводит к инфинитному отклонению от ее оси. Этот эффект аналогичен
механизму жесткой фокусировки частиц в ускорителях.
Возьмем теперь функцию f(2)=sin&z. Тогда
i
1 1
(II
sin kvidt ) -
2
(to)2
а соответствующая потенциальная энергия
U (х, у) =
to
(*2 1-у2)-
(8)
Следовательно, замена функции f(z) сглаженной функцией sin kz приводит
лишь к появлению множителя порядка единицы.
7.27. Уравнения движения заряда имеют вид
304
Нелинейные колебания
[Гл 7
2 = - - (xx~yy)f{z)\ ю0 = -.
а тс
В приближении z^z0 + vt поперечные координаты определяются уравнениями
(1)
а
сорЦ
а
Функция f{vt) является быстро-осциллирующей с периодом 7' = = L/v =
2n/?i. Поэтому движение заряда может быть описано с помощью введения
усредненной силы (см. задачу 7.19):
dU
mr_L = - -; (3)
*1
U = -ja>*(x2 \-y2)^f(vt)dty^ .= tn ^ j2(.ta + /)?]
O)
n=l
2 _ CJpt'
Вычисляя фурье-компоненты функции f(vt): т
[(- 1)"-11,' пфО- /о - О,'
1 J ЯП
о
найдем
оо оо
SIM2 1 __ л*
П2 Ла
г
Следовательно,
rfi Л2 ^ (2п_ 1)4 24
П(= 1 Я=1
у = -^-'(^)2(^+У2). (4)
96 \ а /
Теперь из (3) -(4) получим уравнения:
i+Q?* = 0; *Чй?у = 0; Йх = -
2а/12
Их решение
л: = A cos (?V + °0*. y - Bcos{Qit + Р).
Методы усреднения
305
Итак, рассмотренная система линз обеспечивает фокусировку зарядов,
влетающих под малым углом к оси этой системы.
Сравним величины магнитного и электрического полей (см. предыдущую
задачу), необходимые для одинакового воздействия на заряд. Приравнивая
частоты, найдем
eHL eUL тса mR2v
Отсюда, полагая L~^a~R\ Ua=E, найдем, что~у ^ри
(о/с) "0,1; Н= 104 Гс требуется ?=103 СГСЕ"3-105 В/см. Такие поля создать
труднее, чем соответствующие магнитные. Следовательно, магнитная
фокусировка практически более удобна.
7.28. Уравнения движения заряда в магнитном и кулоновом полях можно
представить в форме (?=х + и/; е = - е0)
'I = twi --------fo?l- ; (1)
z=-------------eJ(r)--------. (2)
m [ 11 |a + z*]3/2
Будем искать решение этих уравнений в виде
| = ae?mt + 6; i - таеш, (3)
где a = Reia, Ь = ге*$-медленные функции времени. Переходя к новым
переменным а и Ь, с помощью (3) получим
(4)
от(c) [161* + Z*]V2
г =------------^ ; (5)
"ПбР + ИП3/2
причем
|| р = | а j2 + j Ъ |2 + аЬ'ё* + а*Ье-м. (6)
Покажем вначале, что |а|2, j612 не меняются за время ^2я/оо. С этой целью
найдем
d | |2 _ ieaQ аЬ*еш - а*Ьё~ш _ 2eaQ д 1
CL ¦-
dt тсй [|?|(r) + 2*]^2 mc°2 ^ [f&^ + z3]^2
(7)
Усредняя (7) по периоду 2я/<п, находим |a|2=const. Аналогично получим,
что |&|2=const. Следовательно, радиус окружности R и расстояние г до
центра окружности постоянны.
306
Нелинейные колебания
[Гл. 7
Усредним теперь по периоду 2я/со обе части уравнения (5):
г
2 f - . Г dl = L . BL- (8)
dt т Т j [ | ? j* _|_ z2]1/2 m &
и (г)-=
[|g|2+22]I/2
e0Q [" ___________4*______________" _ 2rR
о
2Л
2лр ,) 1 е cos х Р'
о
где р2 = | а [2 + | ЬI2 -р z2 = R* Д г2 + z'2. В случае Кг <С Ра из (8)
найдем
ди e0Qz
mz - -
(9)
дг [Я* + г" + z2]3/a
где
и{г)~--------------e°Q ... • (Ю)
[R* + Г* + 22]
Потенциал (10) представляет собой одномерный потенциал Кулона,
определяющий движение в направлении силовых линий магнитного поля.
Первый интеграл уравнения (9)
-~-+U(z) = Eoz)
позволяет выяснить особенности движения вдоль оси z. Для притяжения
(noQ>0) движение финитно при условии < 0. При ?<? > 0 движение инфинитно.
В случае отталкивания (e0Q < 0) всегда ?ог> > 0 и движение инфинитно. При
этом если
Ejz)<-------koQ I ; г (0) = - оо; z"(0) = 20,
\R- -г г2]1/2
то происходит отражение заряда в точке с координатой При
?<*>>-----------1ML-----; г (0) = - оо; г(0) = г0
_ zajl/2
отражения не происходит.
В том же приближении Ег<Ср2 после усреднения по периоду 2я/со из (4) и
(5) находим (||о|2= М2+ \Ь\2)
