Задачи по теоретической механике для физиков - Ольховский И.И.
Скачать (прямая ссылка):
inilt ¦
Т
QnO7)=--i Q(9, (2)
о
Далее ввиду условия положим, что координата q слагается из ? - плавно
меняющейся за время 2я/й функции и быстроосциллируго-щей функции u\t), т.
е.
Ч - ? + и- (3)
Поскольку Й>¦{!)(), то амплитуда вибраций мала и, следовательно, М"|||.
Поэтому уравнение (1) можно представить в виде
а(5 + а) = -|- + и - + + 2 (Q"+u aQ"
+
4=1- (4)
dq
Теперь усредним (4) по периоду 2л/Й и найдем
4-+ + (5)
пф О
Методы усреднения
297
Вычитая (5) из (4) и пренебрегая членами получим уравнение
(tm) = ? Qn(t)*nat-
rtjkО
(6)
При решении этого уравнения можно считать Qn(l) постоянными. Тогда
и
пфй
Qn( i) a (n?i)3
girlQt
Далее, учитывая (7), из (5) получим
4 = + i),
06
где
F (5) = Q. Ш - ± 2 ^ *¦")
п^±0 п'фО
При вычислении среднего значения учтем, что
t+T
- _L ei(n+n')Qt dt - Ьп~п-,
i
и вместо (9) найдем
РГ\ п (*\ 1 V
- Q.(E) -- 2j 1Г -
(7)
(8)
(9)
(10)
О
1 Vi ею,*Is 1
2а d| n* Q*
ИЛИ
/?(5) = Qo(E) -
1
2а ^"([!Q-(6, ^Л]'): О -Qe-
Таким образом, уравнение (8) принимает вид
dUctt .
а| =
91
= */(6)+ Ф(1>.
где
298
Нелинейные колебания
[Гл 7
Отсюда видно, что действие быстро осциллирующей силы сводится к изменению
эффективного потенциального поля, в котором движется точка.
7.20. Используя результату предыдущей задачи, получим уравнения
а?-=
dU
ЛЬ (5. о
и -- - - cos со,
dt ' \ ЭЕ
Ф
flu = (?, t) cos а>^.
(1)
(2)
При интегрировании (2) учтем, что Qi(E, t) мало изменяется за время
~2я/юь Поэтому
¦Qjd, t)cosa>Lt.
ащ
Далее получим уравнение движения по плавной траектории
dUeit .
"1 =
7.21. Лагранжиан маятника
Q.(?, 0-
mP(f
+ mgl cos ф m/snoj2(p sin cp sin a>t.
Запишем уравнение движения
ml2ф =------------ (- mgl cos ф) - mls0co2 sin ф cos atf.
Эф
Затем, применяя метод усреднения, найдем эффективную потен циальную
энергию
1 / ,сп \ 2 / (л \ 2
4
COS Ф
(tmy
siti2 cp ,
(1)
где ~юо =g/t.
Исследуем теперь возможные положения равновесия маятника. Из уравнения
at/eft
Эф
mgl
- Sin ф -( -S°"- V Sitl ф COS ф
2 \ too I ^
о
получим
Фх 0; фа = л; cos ф3 - 2
ton
s0w
Методы усреднения
299
Вычисляя
ВИДИМ, ЧТО
Weff
Эф4
We ft Зф4
mgl
СОЭф +
msg to4
(-3
2gl
Таким образом, если 2g//ft)2So< 1, то положение фг = л является
устойчивым. Это случай так называемого динамического равновесия.
7.22. Используя результаты задачи 7.19, получим
а|' ------- + (и Гcos aj + cos ш2Л );
ae \ L eg ag . /
ati = Q1(g, t) cos (oj 4- Q2 (I, t)cosa>2t.
Следовательно,
("[
Qi ^ i Qi i -cos (r)i i + -o- cos (o4
40,
dQi , , dQ3 ,
COSCO^ -I - C0S0>4
ae
>
4oco2
(Qi • Q2) . 2 cos (<% - (o2) t
dz "* w
(ti> - fj)[ (0,).
Таким образом,
где
al= -
V*ii (S) = t/(6) + -гЦг [Q? + Ql + 2Q&COS (<0, -0>.2) f].
at/,ff
ai
40ft)4
7.23. Из закона изменения полной энергии маятника следует
_d? ^ _5L_
dt а* '
Поскольку в случае линейных колебаний
(1)
300
Нелинейные колебания
[Гл. 7
из (1) получим
(2)
Учитывая медленность изменения параметра I, усредним (2) по такому
движению, которое имело бы место при постоянном значении I, т. е. при
<p=acos<of. Тогда a2=g/l,
- - mil /ф2 - - фа \ = - •- m//a2co2 -------------- . - , (3)
dt \Y 2 Y / 4 12
Имея в виду, что со- - со -, из (3) найдем
2 I
dE _ ? • dt <й '
т. е.
- - const.
СО
7.24. Уравнением движения является
mr - F(0) + еЕ" + - [vHJ, (1)
С
где
F(0) = еЕ0 + ~ [vH0], (2)
С
Решение уравнения (1) будем искать в виде
г = х + и, (3)
где |uj-C|xl. Тогда (1) можно представить в форме
т (х + u) = F° (х) + (uy) F° + F° + eE_ (x) +
+ e (uy) E" (x) + - [xH"] + - [x (uy) H"] + - [aH_J. (4)
e с с
Усредняя (4) по периоду 2я/со[, получим
тх = F0 (х)Ч- ^ е (uy) + -j- (х (uy) Я J + -- [иН"] ); (5)
mu - (uy) F° + (u \ P -f- eE_ + - [xH_J. (6)
\ ov J с
Далее предположим, чтоЕ_(г, f) = Е (г)coscoxt.Тогда из уравнения
Максвелла
Методы усреднения
301
* и 1 ан" rot ---------------------. --
с dt
найдем
Н_(г, г) ^ H(r)sinoM; Н(г) = rotЕ(а); kl=--.
"1 с
Опуская ввиду малости два первых члена справа в (6), после интегрирования
получим
ii = -( Е sin - - [хН] cos щЛ;
/лад \ с /
й ' -......' (7)
-Ц- (Е cos (о^ + - fxH] sin (охЛ
m<0j \ с }
Теперь подставим (7) в (5) и, опуская члены порядка х2[с2, найдем
тк = Р (х) -г -J- ( ^-(Ev) Е + - [ЕН]
2с I тщ /пса"!
тх - F0 (х)-----------| (EvE + [Е rot Е] j. (8)
Учитывая известную формулу векторного анализа -i-v?2 = (Ev)E + [ErotE],
(8) можно записать в виде
тх - F°> (х) - уU (х),
где
О)
7.25, Поскольку у<с, то время с/о<о, за которое элек-
трон проходит расстояние порядка длины волны, велико по сравнению с
периодом колебаний поля ~1/и. Поэтому можно считать, что электрон
движется в некотором усредненном поле, обладая потенциальной энергией
U (г) - / [ Е0 cos tot cos kzdt I* \ = --- cos3 kz,
W 2m \ J 0 I / 4mcaa
302
Нелинейные колебания
[Гл. 7
Сила, действующая иа электрон,-
F --------- - sin 2 kz,
4 mat2
а уравнение движения сводится к уравнению z - Qa sin 2kz = 0; Йа
e2E20k
4m2to2
совпадающему с уравнением математического маятника.
