Задачи по теоретической механике для физиков - Ольховский И.И.
Скачать (прямая ссылка):
V. 0 = 0; g = 0; g = f; а = А**,
а решение .имеет вид
х = Лоте (ci>0* + а).
7 18. Запишем напряженность магнитного поля в виде
Hz = Hf\ f - 1 -L Acoso)^. (1)
Здесь H - "ведущее" поле, h=-- - "коэффициент модуляции"
н
(А<С1). Если магнитное поле создается соленоидом, то напряженность
возникающего вихревого электрического поля
Е =------- [Hr] /. (2)
Потенциал Ф электростатического поля удовлетворяет уравнению Лапласа ДФ=0
и может быть реализован соответствующей конфигурацией металлических
поверхностей.
Включение переменной составляющей магнитного поля приводит к
существенному изменению траектории и энергии частицы. Оценивая среднюю
мощность, передаваемую частице вихревым электрическим полем, можно
убедиться, что главный резонанс возникает на частоте toj = Q:
1Г 2 о 2 еН 2 2ке
^ -• У (Оо 2ог, (Од - - - (Йг -- , {3)
тс т
Теперь найдем решение уравнений движения (l=x + iy):
1 + *4/1 + ~ (*W - col) ? = 0; (4)
"z+<Oz2 = 0. (5)
Из уравнения (5) следует, что частица совершает аксиальные
колебания только в том случае, когда ^е>0. В дальнейшем
будем
считать это условие выполненным Заменой переменных
% = w ехр - J idt (6)
уравнение (4) сводится к уравнению Хилла
СО?
294
Нелинейные колебания
[Гд 7
В том случае, когда ?32>ю|h, уравнение (7) может быть решено
с помощью метода усреднения. Это условие можно реализовать,
выбирая значения х и Н таким образом, что 2ю2 "соо. При этом fi порядка
циклотронной частоты шо- Запишем уравнение (7) в эквивалентной форме:
ш -Г- ^ -- j2 w -= F (да); (8)
F (ш) = ~ (и? - Q2 - 2/коо cos - /i2o)|cos3 aj) W.
(9)
Переходя к новым переменным
Kttlt _ tu>it
w -- аге 2 ~ а2е 2 ;
mtt
и>1 2 Ш, 2
w=-^-ale -~^-а2е , (10)
получаем уравнения для амплитуд ах н а2:
tC0t t t (Hit
a--------------------------F(w)e 2 ; a2^-F{w)e2 . (11)
C0j o>i
Операция усреднения приводит к сглаживанию быстрых пульсаций амплитуд d и
а2 и позволяет учесть эффект воздействия переменного магнитного
поля па их систематические изменения Очевид-
но, время усреднения 7=2л/шь После усреднения система (11) приобретает
вид
а2 = - i (ЛЯа2 --- Я0а2), а2 - i (ЛЯа2 - VH);
Яо = -(tm)-; дя = ~U-а2 . (12)
4coi 4q)j \ 2 /
Характер решения системы зависит от корней характеристического
t jr~ т "
уравнения ±л[Л= К Яо- АЛ,2).
Общее решение системы (12) имеет вид
аг - аем + Ье~и\
а2 = аеи~1^ 4- Ье~и+^\ (13)
здесь ЯоСозу==ДЯ, Яовту^Я. Условие Я2>0 определяет область неустойчивости
"l ^ 9 °)п Т f п 9 ^
У Q?-(4h+ у Q2 + G)20/i+ (14)
Методы усреднения
295
Учитывая (6) и (9), получаем выражение для комплексной координаты:
| = ae~lQ,t-f (15)
где = - ((c)0- (c)i); Йа - -((c)о + (c)х). Коэффициенты а и b в вы-2 2
ражении (15) определяются из начальных условий 5(0) = ?о и 5(0) =5о
соотношениями
а ^ ±----[?|о(1 + - (ЛЛо#у1,
2ш! sin у
[Q259r'v_i|o(l-t e-v)]. (16)
2со! sm у
Из выражений (13) и (15) следует, что траектория представляет
спиралеобразную кривою. Радиус кривизны спирали и расстояние от оси z до
центра кривизны спирали экспоненциально возрастают со временем. Центр
спирали вращается с угловой скоростью Qi, а вокруг этого центра
обращается частица с угловой скоростью 0.2.
При точном резонансе (c)1 = й, cosy=-h/2^0. В установившемся режиме Н" 1
частица движется по разворачивающейся спирали, многократно проходящей
вблизи оси г Действительно, представляя а\ и Ог в виде а2 = /уе1(r)*; а2 =
находим из выражения (15) расстояние р от оси г до частицы в момент
времени t
р = V' г\ -г г\ - Ъ\гг COS (ю yt fa, - а2).
Таким образом, начиная с момента ^1/Я0=4/о)о/г расстояние р изменяется за
период Г=2я/(c)1 от значения
= (17)
до значения
Pm" -= I '¦И- ^1 - 21 а I еи. (18)
Из (13) и (15) следует, что кинетическая энергия частицы Г -
=m|g|2/2 экспоненциально возрастает. Предположим, что вначале частица
покоилась в некоторой точке с координатами Го= (rocosa, r0sina, 0).
Тогда, учитывая (16) из (17) и (18), найдем нижний Ртт=гае~~ и и верхний
ртах=г0е at пределы удаления частицы от
та* "
оси z. При /"1/Яо кинетическая энергия частицы Г = ртах
8
определяется частотой переменного поля и размерами системы.
10*
296
Нелинейные колебания
[Гл. I
Для ионов массы т заряда ге условие сл-соо приводит к значению ведущего
поля Я = 10_4Э (т0 - масса протона). По-
гщ
скольку для реализуемых на практике полей Я^Ю4 Э, то рассмотренный
механизм ускорения может быть использован для
ионов массы т < 108 в области нерелятивистских энергий.
ь>1
Например, при o>i = 107 Гц, г0=1 см находим, что протон достигает энергии
7'= 10 кэВ за время ^ = 14/а>о/г, совершив 14/2яА оборотов. Наибольшее
удаление ртах в этом случае составляет 33 см. Ведущее поле Я=103 Э. Если
ускоряются однократно заряженные ионы легких элементов (m~10m0), то
соответствующее значение энергии равно 100 кэВ. Ведущее магнитное поле в
этом случае Я=104 Э.
7.19. Запишем уравнение движения точки
aq = ~^~ + Q(q, t), (1)
dq
где периодическая сила Q может быть представлена в виде ряда Фурье:
