Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Ольховский И.И. -> "Задачи по теоретической механике для физиков" -> 67

Задачи по теоретической механике для физиков - Ольховский И.И.

Ольховский И.И. Задачи по теоретической механике для физиков — МГУ, 1977. — 395 c.
Скачать (прямая ссылка): zadachipoteoreticheskoymehanike1977.djvu
Предыдущая << 1 .. 61 62 63 64 65 66 < 67 > 68 69 70 71 72 73 .. 88 >> Следующая

ч>1 W-<PiW = т) [J|'a(-|-(-т>3/2) +'/-№ (т(_,)3/а)1;
Фг(т)-Ф,(т)= [^->/3(-§-(-•tf") -Лд (-f (-t)3")];
(fl)max = 0,95 При T = -- 1,02.
При больших положительных т
ф1 М -*¦ -^тг ехР (-§- т3/2);
ф2 (т) -щ- ехр
а при больших отрицательных т
1
<Pi (*)->• Ф, (*)->¦
(- т)1/4 1
sin
cos
(_t)3/2 f ij.
(5)
(6)
(7)
(")
Учитывая, что
288
Нелинейные колебания
[Гл 7
из сравнения (5), (7) с (1), (3) находим c=Aj2, а=л/4. Из сравнения (6),
(8) с (2), (4) найдем D=B\ р=1я/4.
Таким образом, получим две пары "сшитых" линейно независимых решений
*2 (0
<
ехр [ -J У- ш* ], f>*0; _____________
in j Vv>2dt-\- t" f0;
t
Ф V- O)2dt^, f0;
V
Vk
в
t,
to
/
=-coa Jj l/cosdi+ -j-j, i0.
§ 3. Методы усреднения
7.15. Используем замену переменных, которые определяются формулами
х = -j- 2'е-(1)
х = i <в0 - i oi0z*e~i(?lat,
(2)
где гиг* - комплексно сопряженные функции времени. Тогда исходное
уравнение приведем к виду
где
z - в F (<Bi t, х, х),
F = - ~г~ /(*>*> (c)i0-
2(о"
(3)
Представим далее г как суперпозицию плавно меняющегося члена ? (с
характерным временем изменения параметров />-2я/("о) и суммы малых
вибрационных членов, т. е. представим г в виде
2 =¦ § + е их (|, t) -j- ..., (4)
где функция ? удовлетворяет уравнению
| = еа1(|,0 + еаа,(Б,*)+..., (5)
при этом функции нг-, а, в (4) и (5) подлежат определению.
Методы усреднения
289
Так как F(x, х, mt) периодична (е периодом Т=2к1щ), то
оо
F(x, х, (aj) =* ? е~ш'*Рп(г, zm, а>^). (6)
п=-ОО
Далее из (4) и (5) следует, что
f-t+.A-i+.A.+ .(7)
В свою очередь, правую часть (3) согласно (6) и (4) можно представить в
виде ряда
rt=-f-00
F(x, х, (Oxt) - J] F* (I, gW) +
rts=-оо
+ 8% -" I + 8^1 1 +•¦•]• (^)
dz \z=b dz* |z*-g* J
Подставляя (7) и (8) в (3), в первом приближении найдем
оо
"1 + ~ 2 e~im,t (6. Г. (r)11). (9)
П=-ОО
Теперь усредним (9) по периоду Г=2я/(о0, имея в виду, что | -• медленная
функция времени. В результате получим
"i(S, 0 "*&?.*). (Ю)
где
г+Т n=+so
?(1,Г,0 = "г| j (И)
t е"|
Учитывая (10), из (9) после интегрирования найдем
"1 (I, 0 = j [2 е-4лШо<р*(Ы*. <М) ~Р}&- (12)
О
Рассмотрим некоторые частные случаи,
а) Если (c)1<С<йв, то
F(t. V,t) = Fo(tr, (r)хО.
Ю1/" зак 4
290
Нелинейные колебания
[Гл. 7
б) Предположим, что f(x, х, coi^) периодична с периодом 2л/о)|. Тогда
f"G, Г, (r)i0 =
"I
Следовательно, при точном резонансе
?(i,i'.f)= ? FMt(t> ll-
пт,-рп,ш1=-0
Для нахождения решения вблизи резонанса положим "i&)i+rt(oo= = 6<со0.
Тогда
F(l,V,t)= ? Fnni(g,r)e-'M.
пш0-(-п,Сй1я1б
в) Если й1"юо, то ?=0, т. е. |=0 при ?=const.
Итак, в первом приближении рассмотренного метода 2=|, |=eF(i, ?*, 0, где
.F(i g*. 0 определяется формулой (11).
7.16. В рассматриваемом случае
О
i (On
е F (х, х, о)^) =----------- {гё(r)^ + z*e~to^)3 е~ш*1.
2шй 3!
Следовательно, из формулы (II) предыдущей задачи получим При этом функция
| удовлетворяет уравнению
4
Решение этого уравнения ищем в виде g-Ае1^. Тогда
А =0; ф = -
т 4
Таким образом,
Л = - , ,
2 т 16
Л = ф = _3_а20.
Учитывая, что
г = | = Ле'ч'; л - 4- zV-*(r)"*,
получим

Методы усреднения
291
7.17. В этой задаче
в/ = -(c)о h cos aj-x-,
&F {х. х, ах?) -------^-cos(c)!* (zeiw°* -J- г*е~ш^) г~ш^\
2 i
t+r
e~F(l, g\ t) = lim Г F{z, z, (c)!*)],_**. (1)
r-"w T J t
1) В случае (c)i<C(c)o при вычислении функции (11) задачи 7.15 cos (c)it
можно вынести за знак интеграла. Тогда
Следовательно,
г, о = --^-соз(c)^.
* Waft
6= ^-cosa^;
v О
I = ^еХР
JcOS(c)!^+ ф0
1
х = асоз ф; ф = J (c)" ^ 1 + -|~cos (c)х/j dt + ф".
о
Это решение можно получить, используя результаты задачи 7.13, поскольку
у'(c)2 =& (c)0 ^ 1 + cos(c)x^ .
2) В случае (c)i~2(c)0 введем обозначение (c)i-2(c)0=б. Тогда
?(5. ?*, *) = -(c)"Г*"; 5--
Решение последнего уравнения ищем в виде|-т)е 2 . Следовательно, функция
т) удовлетворяет уравнению
• , "б ito0 • Л
Т) п------------ ri = 0.
I 2 1 4 1
Полагая Ti=u-fio и отделяя мнимую и действительные части, получим систему
уравнений:
S toe п
и~ о------------о = 0;
2 4
• , б tog л
v Н и - ы = 0.
2 4
тг*
292
Нелинейные колебания
[Гл. 7
Решение этой системы ищем в виде
СК:)Л
Ее характеристический детерминант приводит к двум корням:
Я - ^ s; s =
Ш-(т)Т (2>
Для первого частного решения %-s получим
Ci = а; С,= -!-(-в+-^Ла.
2s \ 2 }
Для второго частного решения Я=-s найдем Ci = b;
5T(-e + -TL)k
Следовательно,
и = aest -f- 6e~rf; о = ~ (-в + (об1' - йе-0;
Л = UCOS -OSitl
2 2
Согласно равенству (2) условием вещественности s является
4 >
Таким образом, если частота toi внешнего воздействия лежит в интервале
2<в0 (I - -*-) < о, < 2а>0 (1 + ±), (2)
то в системе возникает параметрический резонанс, а амплитуда возрастает
по экспоненциальному закону. Неравенство (2) определяет зону, внутри
которой положение равновесия оказывается неустойчивым.
В области устойчивости s2--So<0
* " " [1 + "5Г ('_6 + ) ]008 [ ('^ + s")(+"]+
+" [ ' - -а+-т") ]TOS [ (т-" ;
Методы усреднения
293
3) Если Mi>ci)o, то
Предыдущая << 1 .. 61 62 63 64 65 66 < 67 > 68 69 70 71 72 73 .. 88 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed