Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Ольховский И.И. -> "Задачи по теоретической механике для физиков" -> 64

Задачи по теоретической механике для физиков - Ольховский И.И.

Ольховский И.И. Задачи по теоретической механике для физиков — МГУ, 1977. — 395 c.
Скачать (прямая ссылка): zadachipoteoreticheskoymehanike1977.djvu
Предыдущая << 1 .. 58 59 60 61 62 63 < 64 > 65 66 67 68 69 70 .. 88 >> Следующая

частицу, за промежуток времени т1<СД?<Сто движение частицы происходит
практически с постоянной скоростью.
Уравнение движения броуновской частицы имеет вид
тг --Ar + F(/), (1)
где -А г -сила сопротивления среды.
Умножая обе части (1) скалярно на г и учитывая, что
d
получим
гг = -- г г - г2, dt
т 2 % dr2
--Tl*
. mv% ---------.--------f- rF.
2 dt2 2 dt
Усредним это уравнение по множеству частиц Тогда
- (г3) - ЗЙГ = - - • - (г2), (2)
2 <№ 4 7 2 dt ' 7 w
так как
(mv2) = ЗАГ; <rF) = 0
(здесь А - постоянная Больцмана, Т - абсолютная температура жидкости).
§31
Вынужденные колебания
271
После первого интегрирования уравнения (2) получим d (г2) -- +
dt
X
Поскольку рассматриваются большие интервалы времени - t > 1, то
т
d ^ гг у -j,
dt
и, следовательно,
(г") =
4 ' %
Таким образом, среднеквадратичное смещение броуновской частицы растет
линейно со временем.
При движении шарообразной частицы А=6:гг|а, где с - радиус частицы; ц -
коэффициент вязкости жидкости. В известных опытах Перрена масса частиц
т=10~и г, а-\0~ь см, ^ = Ю-2 г/см-с Поэтому величина т1к=т/(злца~ 10-8 с
и, следовательно, сделанное выше допущение оправдано
6.59. Из уравнения движения броуновского вибратора
тх - - хх - А.* 4- ^ аналогично предыдущей задаче найдем
Л -^L-.{x*) - kT = -x(x2)--
2 N / 4 ' 2 dt 4 '
Очевидно, что
<**)= "1+Сх^ + С,^, (1)
к
где
VI, 2
1 =F
2 т
Из (1) следует, что при f->oo
п/ 1-8JH2L У w
(2)
Это соотношение является следствием статистической теоремы о
равнораспределении энергии по степеням свободы. Действительно, в силу
этой теоремы
I 1 "\ 1
272
Линейные колебания
[Гл 6
откуда
При 8 tmt > X2 корень в (2) мнимый; поэтому
. ^ *
(х2) = -^- + е 2т [CiCOSfd!t + C2sinо)х/];
X
/8т х ,
1 •
А*
При 8тн< Я2 движение апериодично. Если 8/пи<С|Яа|, то
Следовательно, в этом случае
Нелинейные колебания
§ 1. Собственные колебания и метод Крылова ¦ Боголюбова
7.1. Запишем лагранжиан маятника:
"5? = ф2 + mgl cos ф. Полная энергия маятника сохраняется, т. е.
ф2 ~ mgl cos ф =
Вместо ?" введем константу а согласно соотношению
г _ " . ЯИХа/а 2 2 ,1
E0 = -mgl~)--сад а>о = jgf/i.
Тогда из {1) получим
Ф2 = 4<йо
•sin'
4
Разделяя переменные, из (3) найдем
2ш0 i = j' ¦---------drf-
(f)
/(i
Фо I/' (~J "sina(4>/2)
Обозначим
Фо
2<в0т = ^
f
("§-) - sina(q>/2) из (4) получим
274
Нелинейные колебания
[Гл. 7
Этот интеграл подстановкой х = - sJfl (<P/2) приводится к эллиптиче-
а
скому интегралу первого рода
Напомним, что по определению эллиптическим синусом sn(u, к) с аргументом
и и модулем к называется функция, обратная по отношению к интегралу
Это представление можно получить непосредственно из (5) подстановкой
#=sin (ф/2).
7.2. Вместо полной энергии удобно ввести постоянную а (см. задачу 7.1),
играющую роль амплитуды линейных колебаний Действительно, максимальная
амплитуда фт ах определяется условием Sin (фшах/2) =й/2 (при малых
отклонениях фтах~а).
Функция sn (т, к) периодическая, причем ее период по переменной т равен
4К, где К - полный эллиптический интеграл первого рода
sn(u,&)
(6)
Сопоставляя (5) с (б), решение можно записать в виде
sin (ф/2) = Y sn <Й0 (t + т), ~ .
(7)
Используя соотношение [8]
представим (7) также в виде
sin (ф/2) = sn ~<a0(t + T),
2
а
Период колебаний Т равен
§ I) Собственные колебания и метод Крылова - Боголюбова
275
Подстановкой х = sin и [я-- - sin - ] приведем (1) к виду
а 2 1
я
]/ 1-(?тг_)'
о
При малых отклонениях (а<С1)
Л
2
В том же приближении частота

= (r)о (]
7.3. Уравнение Лагранжа математического маятника имеет
вид
Ф -1- (r)о sin (р = О,
где ф - угол отклонения маятника от вертикали, а <*>% = g/L Отсюда в
случае малых колебаний с точностью до первого нелинейного члена
включительно получим уравнение в стандартной форме метода КБ:
Ф- сооФ ^ еQ(ф),
где
eQ( ф) = -ф3.
Решением этого уравнения в первом приближении по методу-КБ является
функция
Ф = асозф,
где
а - 0; ф = со,
efti 0 2cofta'

= eQ(acos^)cosi|5d^.
276
Нелинейные колебания
[Гл. 7
Вычисляя этот интеграл, получим, что e[5i = <oa3/8 и, следовательно,
частота нелинейных колебаний
/ , с2
(О = Шп
(см. предыдущую задачу).
Таким образом, закон движения математического маятника в случае малых
нелинейных колебаний задается функцией
Ф = a"cos <в0 t + ф0
7.4. Поскольку сила кулонова трения
F = - F0 - 6 (о)
V
(0(п) -функция Хевисайда, см. задачу 1.27), уравнение движения маятника
имеет вид
ml% ф 4- mg / ф + IF0 = О,
IФI
или
ф+ Юоф=-8<2(ф),
где
eQ = -\-
| ф| ml
Согласно методу КБ
2щ ' ^ 0 2ща '
где
2П _ ,4%
cUf |
Ф = acosф; а = -----------; ф = ш0
1 f* Xsinф I
еа, = - \ -----------2- sin ф а ф = 1 л
л J I sin ФI т т п я п.
о I 1), и=0,
8^ = 0
и, следовательно,
2Х* у 1 лч 2Я* ,
a - (аф 0); a = а0 1\
ЯОЭф XtCOg
a = 0 (a = 0). (1)
Таким образом,
Ф = ("о - COS К* + a).
§ 1] Собственные колебания и метод Крылова - Боголюбова
277
Из (1) следует, что при /=ятао/2Х движение прекращается,
Предыдущая << 1 .. 58 59 60 61 62 63 < 64 > 65 66 67 68 69 70 .. 88 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed