Задачи по теоретической механике для физиков - Ольховский И.И.
Скачать (прямая ссылка):
Линейные колебания
[Гл 6
I 2az(ш)
+-:-ц
(со - ш0)2
4 '
6.56. Решение уравнений движения
х-гХ'хЛ-<&х = - E(r,t) (Е(г, t) == Ех)
т
будем искать в виде
л: = х0 4- *i + ... ,
где х0 - решение не возмущенного волной уравнения, т. е.
Xq = ot Sltl (<d0? -f- ")• (1)
Обусловленное слабым внешним полем возмущение Xi удовлетворяет уравнению
+ tooXi - - Е (г0, t), То = {хо, 0, 0).
т
Его решение может быть представлено в виде
00
М*)= J xaemidt, (2)
-00
где
еЕ<о ... lK .
"(,"_<%) (со - со2) ' ~ 2 ±м0)
а
оо
?ш = --- Г Е (д:0, t) е~*ш( dt.
2л J
Поскольку (в силу (1)) Е(х0, t) - периодическая функция с периодом 2яДоо,
то
оо
Е (х0, t) - ? Еп (a, t) е1'"*'; <р = ш01 -f а.
л--м
Следовательно,
оо
Ей = -- f S Е" (а, 0 л = s ?* (С) ю + п (c)u)
e-''na, (3)
2л J
Вынужденные колебания
267
где
+ 00
?" (а, t) = J Еп (а, ш) е*" da - 00
(при вычислении (3) учтено, что = Е*п).
Мощность, передаваемая внешним полем осциллятору,
= eЕг_-еуР г = -"
При усреднении по времени первый член даст нуль, так что (Л(r)) = = е
(-|-[ф(г0> 0 + Г!уф(го, 0+ •••]) =
е - ф (г0, 0) ~ е (г,. (го, *)} ¦ (4)
При усреднении по начальным фазам а первый член в (4) не дает вклада.
Поэтому среднее по времени Т и фазам а значение мощности равно
2Л т
"Л*" - - ij da j г, (хо, о dt. (5)
О -ОО
Учитывая (2) и (3), из (5) после усреднения по фазам получим
= -е-у Г
^ mT LJ J (а-шаИш -"%)
П -оо
00
2ite2
Ёп{а, Еп{а, со-f-пщ) еш ^ ^
Sf t (<|> + п<Оо)\Еа(д, <р + п<ао)|* ^
J (to -ffli) (со -юг)
mT
п -00
Отсюда, применяя теорему вычетов, находим
<<'^>> = 2 {] ЕЛа'(п+1} щ) |а [~Т~ + щ{п + 1)|
п
I%
\Еп(а, (л - 1)со0)I
2 +(п- 1)щ
Этот ряд можно представить в виде суммы по положительным значениям п:
ОО
"^" = ? л[| ?"_! (а, п а0) I* - I Еп+1 (а, п а0) |*]. (7)
г:=-0
268
Линейные колебания
[Гл. 6
Согласно условию электрическое поле в волноводе Е (г, t) = С (л, y)f(u>t-
kz)
(ось z направлена по оси волновода). Тогда (7) принимает вид
Из этого выражения следует, что неоднородный спектр внешнего поля может
существенно изменить величину поглощаемой мощности. При определенных
условиях она может быть отрицательной, т. е. осциллятор может отдавать
свою энергию переменному полю - возникает мазерный эффект.
Величина "Л@"Т определяет фактически полную энергию, переданную
осцилляторам при взаимодействии с конечным во времени импульсом
излучения. Если же электромагнитное поле меняется во времени
периодически, то взаимодействие с осцилляторами удобно характеризовать
средней мощностью. Рассмотрим^ например, взаимодействие осцилляторов с
волной, период которой равен 2jt/Q. В этом случае
?(*",*)= ? Е(х0, ")*"*" = ? Еп(а, т)в*я1ш+и<*+"". (8)
"•**> - J п {| Сл_, (а) Р-j Cn+i {а) |2}
4лае*
Тогда из уравнения движения найдем
Хх = ^ е(/гШ+НЫ|)*+а) 5
(9)
е"Ея(а, к)
m [(6А + л со0)* - гА, (Ш + л со") - (о2]
Подставляя (9) и (8) в (5), получим
2 Т
т
о
-т
Еп (а, к) ik' Q Е-п (а, к') е1^+к'т
(Ш + я со*)* - i% (Ш + л",) - Mq
-Т к,к',п
ie* VI
Ш|Е"(а, fe)l*
(Ш -j- ft ~j" я. (r)e) -
Вынужденные колебания
269
6.57. Каждая частица подчиняется следующему уравнению движения:
тг = еЕ0 cos (со/1 - кг). (1)
Поскольку воздействие волны на заряд мало, для достаточно малых
интервалов времени можно допустить, что
г = -f- -Ь ... ,
где p + v0*- закон движения заряда без воздействия поля,
а - возмущение закона движения, связанное с волной.
Тогда, интегрируя (1), находим
г6)(0^ еЕо -- sin [(ш - kv0) t - ер], т (со - kve)
Где ф = кр - начальная фаза частицы.
Различным частицам соответствуют различные значения фазы ф. Если частицы
распределены в пространстве однородно, то и распределение фаз также
однородно. Найдем среднее по фазам значение кинетической энергии,
приходящейся на одну частицу:
2л 2
+ =^ + Г1;
О
Т1 -------^ sin2 JgL-.W-i.
т (w - kv0)2 2
Теперь вычислим среднее по распределению начальных скоростей значение Т^
<7\>v. = j7y(v0)dv о
е*Е2 Г Г----------- - --^1- sin2 (со - tox)
"±Ъ- \л/ е
m J у 2л0 (со - kvi)2
•-00
Здесь щ - компонента скорости, параллельная к. Наибольший вклад в
последний интеграл дает область причем разме-
ры этой области уменьшаются с ростом t. Поэтому
270
Линейные колебания
[Гл 6
"Е'" h(^.)J- /JLU
\ k ) 'Ik J a* 2mk \ k j
m
h (-V)
Следовательно, частицы с тепловыми скоростями ут = l/20/m ~a)/k заметно
поглощают энергию электромагнитного поля; если же тепловая скорость
частиц от- фазовой скорости волны, то поглощение энергии весьма мало.
6.58. Скорость броуновской частицы
lim г(< + А0-г(0
Д<-*0 &t
где Д^ < т0~-Ю^с - промежуток времени, в течение которого частица
практически сохраняет свою скорость. Сила F, действующая на частицу,
обусловлена хаотическими и нескомпенсирован-ными ударами молекул жидкости
о поверхность частицы. В результате сила F флюктуирует с характерным
временем xi~a/v, где а - среднее расстояние между молекулами жидкости; v
- тепловая скорость молекул. Следовательно, ti~ 10_8/105 с~ ~10~13 с<Ст0.
Таким образом, при усреднении величин, характеризующих броуновскую
