Задачи по теоретической механике для физиков - Ольховский И.И.
Скачать (прямая ссылка):
2g2
(?0 - С) + 3gt/sin a
L tn
5.7. Помещая начало координат в центр сферы, получим уравнения связи и
движения в виде
/ = г(r) - а(r) = 0; (1>
mr = mg +2Я,г. (2>
Из (1) найдем
t
-i- / = у2 -f г г = 0.
2 1
178
Уравнения Лагранжа
{Гл. 5
Это соотношение с учетом (2) приводит к
Я = т
2а*
Исключая отсюда о2 с помощью интеграла энергии
- т gr - Ьь,
получим
*¦ = -^-[2B" + 3mgrl.
Рассмотрим частные случаи.
1) Если о(0)=0; z(0)=a; дг(0) =#(0) =0, то E0=mga, Реак-
2
цця обращается в нуль при г = -а (координата точки отрыва).
2) Если о(0) = (ga) Ч2-, z(0)=a; х(0) =у(0) =0, то Е0 =
= (3/2) mga. Реакция обращается в н^ль при г=а.
5.8. а) В цилиндрических координатах с началом в центре сферы и осью г,
направленной по вертикали вверх, уравнения связи и движения имеют вид
/ = р2 + г2 -а2 =0; (1)
т(р - ря>2) = 2Яр; (2)
- ~4"Р2Ф = 0; (3)
р ас
тг = - mg 4* 2Я г. (4)
Из (3) получим интеграл момента
т р2ф = М0. (5)
Затем используем закон сохранения энергии
Y <Р2 + РгФ2 +z*) + mgz=E0, (6)
что позволяет избежать вычисления Я.
Исключим из интеграла энергии р, р, <р как функции г:
р = У Ф -г%~; р = гг ¦¦ ; <р = - f1*
Yср- z* m (a3 - z2)
(эти выражения следуют из (1) и (5)). Тогда (6) приобретает вид уравнения
первого порядка, которое приводит к квадратуре
dz
¦h
Q(*>
Уравнения Лагранжа с реакциями связей
179*
где
*¦)_ Ji-1. (8>
Л mg )К 2m*g J
В общем случае интеграл (7) не выражается через элементарные функции.
Поэтому рассмотрим частные случаи.
1. В случае Гринхилла задаются следующие начальные условия:
2(0) =0; 2(0) = 0.
Следовательно,
тид
Ей = --; MQ = rmvQ;
Ф - t = - arcsin vG (--------------------------------- - 'j1/2.
т 2a 0 \ 2g(aa - za) /
2. Найдем условия, при которых точка движется по горизонтальной
окружности на высоте г0. В этом случае
"(%>=<>; "
= 0 г=гй
ИЛИ
гЛ (a2 - 2о) = Зго-----z0 - a2 = 0.
V mg J 2mig mg
Отсюда находим
E = (34_ a2); Mo2 = - (a2 -zg)2.
2z0 z0
Следовательно, z0 < 0, а
Ф
-V-i-e-w-
3. Рассмотрим движение вблизи положения "равновесия"-Zeq~-а. Разлагая
функцию Q(z) в положении "равновесия" до членов второго порядка малости
включительно, получим
Ml
180
Уравнения Лагранжа
[Гл. 5
С другой стороны,
i2 = Q(z)
и, следовательно,
2zz = Q. (10)
Теперь, используя (10) и (9), найдем
а \ mg / а3 Щ ) '
Полагая и = г + а, получим
ы+соаи +
а \ mg j
где
саа = ¦- (За -I-. a* \ mg }
Таким образом, координата г точки совершает гармоническое колебание
г = (а^-~'а + А005(^ + а)"
аа* \ mg )
а угловая скорость изменяется по закону
м" Мо
ф
2 (а(r) - г3) 2та (а + г)
б) В сферических координатах получим уравнение связи и законы сохранения
/ = га -аа = 0; (1)
mr2 sin2 0 • ф = Мг0; (2)
- (г2 + г2 0а+ г2 sin2 0-фа)+ mgr cos 0 = ?о. (3)
Из (1), (2) и (3) найдем
АЛ
(">
Мт
та3 sin(r) 0
д|2
+ "о а f щ + m?aC0S 0 = ?e- (5)
2ma(r) sin2 0
Уравнения Лагранжа с реакциями связей
181
Уравнение (5) дает возможность определить /(0) как квадратуру
j -------;---------*----------------г^г- (6)
Ь=г {Е'~ wsb-e ¦-mfra с"0)]
1/2
а эта квадратура совместно с (4) позволяет найти <p(f).
5.9. Так как угол наклона касательной к оси Ох равен ф и, кроме того,
ds = a<jp dq>,
то, проектируя обе части уравнения движения на нормаль к кривой, получим
-1- mg cos ф = |R|.
Оф
Квадрат скорости находим из закона сохранения энергии
+ mga (sin ф - ф cos ф) = Е0.
В результате найдем реакцию
2
R ----------(Е0 - mga sin ф) + 3mg cos ф.
а ф
5.10. В рассматриваемом примере угол между касательной и осью Ох равен
Зф. Поэтому, проектируя обе части уравнения движения на нормаль к
лемнискате, получим
т°2 3 sin 2ф . Q
_ . -1-__2- 4- mg'cos Зф = R.
С другой стороны, согласно закону сохранения энергии
mv*
- mga sin фК2з1п2ф.
2
Следовательно,
Я = ffig (6sin 2ф sin ф + совЗф). (1)
Замечая, далее, что
гг + гаФ2 = -8gV sin2 ф sin 2ф, разделим переменные:
182
Уравнения Лагранжа
{Гл. 5
Интегрируя последнее выражение и полагая при этом ф=я/2 при *=0, получим
ctgy = -j-(g/a)at*.
ID
Теперь подставим эту функцию в (1) и найдем окончательно n mgt* Г9_
№ 1
" YW^ [ тЧ
5.11. Уравнение движения точки можно представить в виде
i>nx+yan-^- = g + R 1т, ds
где пт - орт, направленный по касательной к кривой вдоль движения точки;
п -орт, направленный по нормали к кривой; а - угол наклона вектора пх к
оси Ох. Для циклоиды
tg" = ilL=-J*L*_ = ctgJL (2)
s dx 1 - cos Ф 2 ' w
и, кроме того,
ds2 = (dx)2 + (dt/)2 - 4c2 sin2 ~ (dtp)2. (3)
Учитывая (2) и (3) и рассматривая уравнение (I) вдоль касательной:
mv = - mg cos
найдем интеграл энергии
тф
2
Из (4) после разделения переменных имеем
<р ф
п 2а sin - <fq>
t = 1 2
mga cos ф = E0. (4)
2
(E0 -4- mga cos <p) Ф. V m
Уравнения Лагранжа с реакциями связей
183
т. е.
ь, ?-+¦
V g Ф ,/ V '
XCOS-J-+ у Wcos*-J- + l
где л -1/
г ?о - inga
Обращение этой формулы определяет закон движения точки по циклоиде
х=х(<р(0); y=y(y(t))-
Реакцию связи найдем из уравнения движения вдоль направления нормали к
