Задачи по теоретической механике для физиков - Ольховский И.И.
Скачать (прямая ссылка):
проведенный из центра Земли.
Очевидно,
тл
Wo- - - Y-3- п,
где rj -радиус-вектор, соединяющий центры Луны и Земли. Ясно также, что
172
Движение относительно неинерциальных систем
[Гл 4
Таким образом, где
mr = mg + mAg,
A6 = V^(f-
Теперь учтем, что IrKlrJ, и, следовательно,
1 I (\ З"-!
Тогда получим
)• <"
В точке, наиболее удаленной от Луны, вектор (1) имеет вели-2-утл _
чину --j- R и направлен от центра Земли, в точке, наиболее
м
2утл
близкой к Луне, вектор (1) имеет величину --3-R и также на-
'i
правлен от центра Земли В точках земной поверхности, которые лежат
посредине между наиболее близкой и наиболее далекой точками, вектор (1)
направлен к центру Земли и по ве-
личине равен -3- R.
ч
Итак, под влиянием Луны в наиболее близкой и далекой от Луны точках
ускорение g уменьшается, а на средней линии возрастает на величину ~1,Ы0-
6 м/с2. Этот "малый" эффект приводит к ежесуточному перемещению воды
Мирового океана, т. е к возникновению приливов и отливов, при этом
кинетическая энергия перемещающихся масс воды равна ~1016 кГм
ГЛАВА 5
Уравнения Лагранжа
§ 1. Уравнения Лагранжа с реакциями связей и законы сохранения энергии и
момента импульса при наличии связей
5.1. а) Направим ось г вверх по вертикали, а ось у в плоскости движения
по горизонтали. Тогда уравнение связи и уравнения движения примут вид
f = *tga+z = 0; (1)
тх=*Х tga; (2)
my = 0; (3)
tnz = - mg + X. (4)
Из (1) получим
x tg a + z = 0. (5)
Отсюда, учитывая (2) - (4), найдем
X = mg'cos2 a. (6)
Это дает возможность найти закон движения
х = х0 -fx0f + - gsln2a-f2; (7)
4
У = Уо + У4\ (8)
г = - х tg a = - (*0 + x0t) tga - ~ gsln2 a-t* (9)
и реакцию плоскости
Rx = ^sinacosa; Ry = 0;
/?г = mg cos2 a.
б) В случае стационарных идеальных связей более удобным приемом решения
системы (1) - (4) является следующий прием. Используем закон сохранения
полной энергии
^L(x* + y* + i*) + mgz = Eo (10)
174
Уравнения Лагранжа
[Гл. 5
и исключим отсюда х, у с помощью (1), (3). Тогда получим
tz* (I + ctg2 а)] + mgz =*Е0 -(П)
Затем из (11) найдем
dz
-- t - t0.
2 sin* а .
(Я0 - mgz)
т
Проще, однако, найти z{t), взяв от обеих частей (11) производную по
времени
+ mgz = 0; г = - g'Sin2 а. (12)
тгг
sin* а
Интегрируя (12), получим (9), т. е.
г =20 +V -Y^slll2a'^*
5.2. Движение точки до соскальзывания подчинено связи
f = y*-ax = 0.
Поэтому уравнения Лагранжа первого рода можно записать в виде
ту = - mg + 2Ху, тх ¦=¦ - аХ.
Если в начальный момент времени точка была на высоте уо, то из закона
сохранения энергии для квадрата скорости точки получим
хг + у2 =2g(y9 - у).
Учитывая уравнение связи, отсюда находим
у2 = 2a?g (у0 - у)/(4у2 + о2).
Так как, кроме того,
2 у2 + 2 уу = ах, уравнения Лагранжа сводятся к уравнению
2т '
Подставляя сюда уа как функцию у, получим
2т
Уравнения Лагранжа с реакциями связей
175
В точке соскальзывания реакция связи обращается в нуль. Поэтому высота уа
такой точки является действительным положительным корнем уравнения
4у* + 3а*у - 2а*у0 = 0.
При а = ~^У2; i/0 = 15/4 значение этого корня у0 = 1.
5.3. Выберем систему координат так, чтобы уравнение связи приняло вид
Отсюда найдем
1 *3 г ^ I . да . zz " .
2 а* 6* с* о* Ь* с* ' '
Теперь с помощью уравнения движения, записанного в декартовых
координатах, исключим из (1) компоненты ускорения. Тогда получим, что
х* , ф , г2 х_
. _____ т__ Д* Ь2 с2 т
2 х* , ф , г* ' * '
реакция эллипсоида
R = 2Я
х у а2 * Ь2
5.4. Из закона сохранения полной энергии
Y + У2) + тЗУ =* ВД (")
с учетом того, что найдем
Следовательно,
у = -^-х=у% dx
ё(1 + У'2) = 2ё(у(а)-у).
ь
!
. Vl+yt2dx
T -
V 2g (y (a) - y)
176
Уравнения Лагранжа
5.5. Согласно законам сохранения энергии и момента коли чества движения
Здесь 26-угол раствора конуса, а ось г направлена вверх по вертикали. Из
этих двух уравнений находим уравнение траектории в квадратуре
Проектируя обе части уравнения Лагранжа первого рода на нормаль к
поверхности конуса, получим
itvyt
5.6. 1) В цилиндрических координатах, направляя ось 2 по оси цилиндра, а
ось х по горизонтали, получим уравнения связи и движения
Учитывая, что
g = gsin а пв - geos а пг = gp np + щ + gz n2,
находим
?p = ?Sinasin<p, g siti a cos Ф, gz = - ?COsa,
Тогда из (2) и (1) следует, что
у ( + Р*Ф*) + тёР ctg в = Е0\ тр2ф = М20
, Мх о ф
т sin 0 ра
- тр cos 0 ф2 =
mgeinQ - R,
откуда
/ = р -Я = 0; m (р - РФ*) = X + tngp\
(О
(2)
(3)
\ = - (mRip* + mgslfl asin ф).
Уравнения Лагранжа с реакциями связей
17?
Кроме того, из (3) и (1) получим интеграл
gsinasfcup = с.
Л
Поэтому
>. = - 3mg sin a sin ср - 2ст.
2) При том же выборе координатных осей
/ = *2+г/2-Яа = 0; (4)
тх = 2Х х; (5)
ту = mg sin a + 2Х у, (6)-
mz = - mg'cos a. (7)
Из (4) - (6) следует
+ У* + & + У У = О"
т. е.
Х =-------
Далее из закона сохранения энергии и уравнения (7) получим,
fflV*j OTZ2
-- Ч--------------- mg sin аг/ + mg cos a-z = Е0\
2 2
/иг3
-g-Ь mg cos a-z = С. Таким образом,
2L
