Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Ольховский И.И. -> "Задачи по теоретической механике для физиков" -> 43

Задачи по теоретической механике для физиков - Ольховский И.И.

Ольховский И.И. Задачи по теоретической механике для физиков — МГУ, 1977. — 395 c.
Скачать (прямая ссылка): zadachipoteoreticheskoymehanike1977.djvu
Предыдущая << 1 .. 37 38 39 40 41 42 < 43 > 44 45 46 47 48 49 .. 88 >> Следующая

пренебречь.
4.17. Исходным уравнением движения является
тг - mg - 2/n[wr], (1)
где g R - т [е> [wRj]; R - радиус-вектор, проведенный из
R3
центра Земли в ту точку ее поверхности, в окрестности которой
рассматривается движение тела (см. задачу 4.16). Ищем решение (1) в
виде
г = г(r) + Г<'> + ... , (2)
где |г<1)|~ - Подставляя (2) в (1) и приравнивая члены
8
одного-порядка малости, получим
>> - g; (3)
г<'> = - 2 (4)
Так как
то (4) имеет вид Отсюда
г<°> = г (0) + г (0) (+ g
г*1) = 2 [г (0) wl + 2 [gw] t. = 2 [г (о) (*>]<¦ + [g&>] t2;
168
Движение относительно нешерциальных систем
[Гд 4
Следовательно,
г (0 * г (0) + г (0) t + g + [г (0)w] 4- [gtt] .
4.18. Уравнение движения маятника Фуко имеет вид
тт = mg - 2m["">r] + R, (1)
где R - реакция нити подвеса.
Выберем ось г по вертикали вверх, ось х направим по касательной к
меридиану в направлении север - юг, ось у направим по касательной к
параллели в направлении запад-восток. Тогда ю=-"cosX-nK+ft)sin^-nj:.
Запишем уравнение (1) в компонентах.
х = 2ш sin Я • у -j- ;
m
у = - 2cocosX-2 - 2в1йЯ*<йх+ -^К-;
m
г = 2a>cosX-y + --------g-.
m
Ограничимся далее случаем малых колебаний г < / (2Х = / - координата
точки подвеса); г'<С ж, у. В этом случае Rxm - лт;
I
Rz^mg. Следовательно, уравнения движения можно записать в виде
х -f- Mo* - 2cosin %'У = 0; J/ + (c)оУ + 2co sin %-х = 0,
где ft>o = g/l.
Вводя переменную l-x+iy, сведем эту систему к уравнению | -j- 2(0) slu Я-
? + о)о | = 0.
Его решение ищем в виде ? = Аем. Подстановка дает
&1.2 = -шв1пЯ± Vо^ + и2slnaЯ= -а>в1пЯ±0)0;
^ g-EOSin^i t - | - Cl2/*-
Отделяя здесь реальную и мнимую части, находим
х = cii cos [(о)0 - ю sia Я) / 4- ai] 4" аг cos [(ю0 4- (r) slfl Я) t - а^;
у = "iSln [(ю0 -(c)sin Я) / 4-Ox] - Оа sin [(св0 4- •*> Sin Я) t - ctaj.
Отсюда видно, что при произвольных начальных условиях в отсутствие
вращения Земли маятник очерчивает эллипс, а учет вра-
Уравнения движения относительно неинерциальных систем
169
щения Земли приводит к прецессии этого эллипса с угловой скоростью
(osinA.
4.19. В сферических координатах (с началом координат в точке подвеса и
осью г, направленной по вертикали вверх) угловая скорость имеет
составляющие
Два уравнения движения в координатах, не содержащие реакции подвеса,
получаются проектированием обеих частей уравнения движения на орты пе и
пф:
Для малых колебаний 9 = л-и; и<Cl. Тогда (1), (2) имеют вид (шг"-tosin
А.)
a>r = - to cos A sin 0 cos ф -f (c)sin A cos 0; сое = - о>cos A cos ф -
<osin AsinB;
(йф = (О COS A Sin ф.
/20 - 12 sin 0 cos 0 ip2 = 21 (со,/ sin 0ф) + lg sin 0 j
dt
(1)
(12 sin2 0ф) = - 21 sin бо)2/ё.
dt
(2)
и = щг + 2(й]Иф - (Оо и; -- агф = - 2"о)1и,
(3)
(4)
где
<bl = со sin А; "о = -
Из (4) находим интеграл
фи2 -f- щи* - С*
(5)
Учитывая (5), из (3) получим
(6)
Следовательно,
т. е.
[Ci + VCi - 4C2co|sln (2(c)4 - С,)].
170
Движение относительно неинерциальных систем
(Гл 4
Таким образом, точка в общем случае колеблется в области
~ (сг - < **+1 < -^r (ci+
2 2
в общем случае не проходя через начало координат. Угловую скорость
вращения плоскости колебаний найдем из (5);
С ^>2 с
Ф = --------оо siti Я ------------------------------------------- со
sid %,
и Сг + Vc\ - 4C2cof sin (2со^ - С2)
откуда
Ф = - arctg / tg щг -\ - ^ gln ^
2
^ Сх+ 1/~С? - 4со| С2
4.20. В системе отсчета, жестко связанной с Землей, движение точки
подчинено уравнению движения
тт - --г - 2т[мг]- т[м[мг]] (1)
л(r)
(начало координат помещено в центр Земли). Имея в виду выражение
для силы, из уравнения изменения момента импульса по-
лучим
- = [rF] - - 2т (w (rv) - v (tor)) - in [rco] (гм). (2)
dt
Умножая обе части (2) скалярио на м, получим
-А- Мм = - 2т (со2 (rv) - (мг) (му)} dt
и, следовательно,
Мм+т[мг]2 = const. (3)
Другой интеграл вытекает из закона сохранения полной энергии:
mv* а от г ¦>, п ...
- ---------------["№]* = ?,. (4)
В сферических координатах интегралы (3) и (4) имеют вид
mr2 sin2 0 (ф + со) = Мг0; (5)
- (>2 + г202 + г2 sin2 0ф2) - - - - со 2r2 sin2 0 = ?0. (6)
2 г 2
Проектируя обе части уравнения (1) на орт пе, получим
- тгЧ = mr2 sin 0 cos 0 (ф -f w)2. (7)
dt
Уравнения движения относительно неинерциальных систем
171
Затем, учитывая (5), из (7) найдем
* mr*Q <>cos9 м*> _________1___
dt тг* sin* е 2тг* dQ sin*0
Отсюда, умножая обе части (8) на г20, получим
"Л2 ЛЛ2
(8)
т (г2в)2 +-------------------=------- . (9)
т sin2 0 т
Наконец, исключая ф и0 из (6), (5), найдем в квадратурах
= t t0\
то а
^+Л1*"+Т
dr
'Vr(*
ш 1 mr2 1/ - Ео - Г +M*o<a-i-
sin2 0 V У ш \ 2Mr* /¦
Mi
а
ф+ Ы =
М,о dQ
sin2 0
/
Ml-
мгг0
sin2e
4.21, Поскольку Земля и Луна вращаются вокруг общего центра масс, в
системе отсчета, связанной с Землей, получим уравнение движения тела (при
этом пренебрегаем центробежной силой, силой инерции и силой Кориолиса)
mr - mg + F - mwo',
здесь F - сила притяжения тела Луной; w0--ускорение центра Земли
относительно центра масс системы Земля - Луна; г - радиус-вектор тела,
Предыдущая << 1 .. 37 38 39 40 41 42 < 43 > 44 45 46 47 48 49 .. 88 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed