Задачи по теоретической механике для физиков - Ольховский И.И.
Скачать (прямая ссылка):
силовых линий магнитного поля и усредненное по периоду Т вращения в
магнитном поле, Т=2п/ы (ы-eHltnc).
7.29. Заряд движется в медленно меняющихся однородных электрическом Е и
магнитном Н полях, удовлетворяющих условиям
Т dE <С|Е |, Т dH
dt dt
"|Н|, Г
2п тс еН
Представить радиус-вектор заряда в виде суперпозиции радиуса-вектора,
медленно меняющегося со временем (т. е. радиуса-вектора "ведущего
центра"), и быстроосциллирующего вектора, описывающего движение заряда
вокруг "ведущего центра" в магнитном поле. Найти скорость "ведущего
центра".
7.30. Электроны движутся в плоском магнетроне. Плоскость х=0 является
катодом, плоскость x=d - анодом. Магнитное поле направлено по оси г.
Начальная скорость электронов равна иу-
S1
52
Нелинейные колебания
{Гл 7
лю. Напряжение на аноде равно U. Показать, что при
d > -I/ 2eaU ток отсутствует (е0, т - величина заряда и масса у та §
электрона (о0 = ^оЯ/mc). Далее, используя метод усреднения, покарать, что
высокочастотное поле бегущей волны Ф_ отпирает магнетрон. Потенциал
бегущей волны
Ф_ = -2- sin (at - kytf) sh kyX,
где ky=nL - период структуры вдоль оси у.
7,31. Заряд движется в постоянном неоднородном магнитном поле. Используя
метод усреднения, найти скорость ведущего центра траектории заряда и
скорость его вращения вокруг силовой линии. Найти адиабатические
инварианты движения заряда.
ГЛАВА 8
Динамика твердого тела
§ 1. Тензор инерции
81. Найти центр масс материального сектора, вырезанного из однородного
тонкого диска радиуса R (угол раствора сектора равен ос радиан).
8.2. Показать, что тензор инерции тела аддитивен по отношению к частям,
из которых оно состоит.
8.3. Найти моменты инерции однородных линий массы М относительно осей их
материальной симметрии; линии имеют форму
а) отрезка прямой длины 2 а;
б) дуги окружности радиуса R, стягивающей центральный угол а радиан.
8.4. Найти главные центральные моменты инерции однородных тонких
пластинок массы М, имеющих форму
а) прямоугольника со сторонами 2 а и 2Ь;
б) эллипса с большой полуосью а и малой полуосью Ь.
8.5. Найти главные центральные моменты инерции однородной пластинки
массой т, имеющей форму лемнискаты
р2 = a* cos 20.
8.6. Показать, что момент инерции однородной пластинки, имеющей форму
эллипса с полуосями а и Ъ, относительно любой оси, проходящей через центр
эллипса в его плоскости, может быть выражен формулой
J ^-М(а2Ьг1гг),
4
где 2 г - длина отрезка оси, отсекаемого эллипсом, а М - масса пластинки.
8.7. Найти главные центральные моменты инерции полой тонкостенной
однородной полусферы радиуса а массы т.
8.8. Сферический двуугольник представляет собой область сферической
поверхности радиуса а, ограниченную двумя большими окружностями,
плоскости которых образуют двугранный угол а. Найти главные моменты
инерции однородного тонкого сферического двуугольника массы М
относительно осей с началом в цент* ре сферы, из которой образован
двуугольник.
54
Динамика твердого тела
(Гл 8
8.9. Определить главные центральные моменты инерции однородного
прямоугольного параллелепипеда с ребрами длины 2 а, 2Ь,2с соответственно
н массой М.
8.10. Найти главные центральные моменты инерции однородных объемных тел
массы М, имеющих форму
а) прямоугольной пирамиды со сторонами основания 2 а и 2 6 и высотой /г;
б) прямого круглого конуса с радиусом основания R и высотой /г;
в) шарового сектора радиуса R и высоты h (в последнем случае ограничиться
вычислением момента инерции относительно оси материальной симметрии).
8.11. Найти главный центральный момент инерции сплошного однородного
полуцилиндра массы т радиуса а (относительно оси, параллельной плоской
поверхности полуцилиндра).
8.12. Найти главные центральные моменты инерции однородного пол>шара а
массы т.
8.13. Вычислить главные центральные моменты инерции однородного полого
цилиндра массы М (радиус внутренней цилиндрической поверхности равен г,
радис наружной поверхности R, высота цилиндра 6); в частности, найти
главные центральные моменты инерции однородного сплошного цилиндра.
8.14. Найти главные центральные моменты инерции однородного сплошного
эллипсоида массы М с полуосями а, Ь, с и, как частный случай, моменты
однородного шара радиуса R.
8.15. Найти главные центральные моменты инерции однородного прямого
эллиптического цилиндра массой М. Высота цилиндра 2 h, полуоси
эллиптического основания а, 6.
8.16. Определить моменты инерции однородного параболоида вращения высотой
h с радиусом а плоской поверхности параболоида - относительно системы
координат с началом в некоторой точке О окружности, ограничивающей
плоскую поверхность, осью Оу, касательной к этой окружности, и осью Ох,
направленной по диаметру окружности (рис. 8.16).
8.17. Найти главные центральные моменты инерции однородного тора массы М,
полученного вращением окружности радиуса г относительно оси, лежащей в
плоскости окружности и удаленной от ее центра на расстояние R>r.
8.18. Вычислить моменты инерции однородной сплошной полусферы массы М
