Задачи по теоретической механике для физиков - Ольховский И.И.
Скачать (прямая ссылка):
орбите. Найти зависимость частоты радиальных колебаний спутника от
амплитуды его колебаний.
7.7. Планета массы т движется в поле с потенциальной энергией
U(r)= -J^L + 6^(r), где бС/ = --^-; ^
г г(r) с(r)
при этом 16С7| <€.утМ/г. Найти уравнение орбиты планеты.
§ 2. Колебания системы с медленно меняющимися параметрами. Адиабатические
инварианты
7.8. Длина нити математического маятника изменяется по закону l=l<j-\~vt.
Найти решение уравнений движения в случае когда угол отклонения _от
вертикали достаточно мал (ф<С1). Исследовать случай v <CVgl-
Методы усреднения
49
7.9. Применяя метод Крылова-Боголюбова к системам с медленно меняющимися
параметрами, рассмотреть движение математического маятника, длина
которого изменяется по закону l(t)=k+vt (t>" VgT).
7.10. Планета массы т движется вокруг звезды массы М по эллипсу с
полуосями а и Ь. Предполагая, что вследствие излучения масса звезды
медленно меняется, найти адиабатические инварианты движения планеты.
7.11. Дана система двух тел, взаимодействующих по закону всемирного
тяготения. Предполагая, что гравитационная постоянная у(t) - медленная
функция времени, найти адиабатические инварианты движения системы.
7.12. Частица движется в стационарном неоднородном аксиально-симметричном
магнитном поле с напряженностью #г, возрастающей вдоль оси г.
Предполагая, что R\-^- <|#2| (R - ра-
дг
диус орбиты частицы), найти адиабатический инвариант движения.
7.13. Найти приближенное решение уравнения лг-ф-о2(^)а:=0, где со2(#)>0
при t<tQ, сог(0<0 при t>t0; причем |со|т>1 (т - время, в течение которого
существенно меняется со2(?)).
7.14. Пусть движение точки подчинено уравнению x + oo2(f)x = =0, где
(d2>0 при t<t0; <а2=-&2<0 при t>t0. Найти связь между осциллирующим (при
t<t0) и экспоненциальным (при ^>*0) решениями уравнения.
§ 3. Методы усреднения
7.15. Применяя метод усреднения [18, 19], получить в первом приближении
решение уравнения
X -f (йцХ = 6/ (0)! t, X, х),
где е - малый параметр.
7.16. Применяя метод усреднения, найти в первом приближении решение
уравнения
- , 2 М0 ,
X + ft>0* = Л .
3!
7.17. Используя метод усреднения, найти в первом приближении решение
уравнения дг-f-o>2(/)x=0, где (о2(^) =(<)2(l +
+ftcoscol0> ft=const. Рассмотреть случаи оц^соо; a>i~2co0; COi^OOo-
50
Нелинейные колебания
[Гл. 7
7.18. Заряд е движется в электростатическом поле с потенциалом Ф --------
- (х2 + у* - 2z2) и однородном постоянном магнитном
2
тюле Н = #пг, на которое наложено переменное поле Н^= = Я| coso)i ibz-,
где - со0=еН/тс. Используя метод ус-
реднения, найти закон движения заряда [20].
7.19. Точка движется с периодом 2л/со0 в потенциальном поле U (q). На
точку действует также периодическая сила Q(q, t) с частотой Q"eoo. Найти
уравнение движения точки по "сглаженной" по периоду 2л/й траектории [21-
23].
7.20. Найти уравнение движения по "сглаженной" траектории, предполагая,
что точка движется в поле U (q), а также под действием почти-
монохроматической силы Q(q, t) = Qi(q, t)cos где 0)1" "о ((r)0 - частота
движения частицы в поле U(q)>
-Г"тМ"'й"-
7.21. Точка подвеса математического маятника совершает вертикальные
осцилляции по закону g -g0cos о^; Найти эффективную потенциальную энергию
маятника и его положения устойчивого равновесия.
7.22. Точка движется в поле с потенциалом U (q) и под действием силы Q(q,
t) = Qi(q)co$G>it+Q2(q)cos(i>2t, где (О)~о)2"(0о (о)0 - частота движения
в поле U(q)). Найти уравнение, описывающее движение точки по "плавной"
траектории.
7.23. Длина математического маятника изменяется по закону J (^) =/0fgl-
Получить адиабатический инвариант, используя метод усреднения.
7.24. Частица с зарядом е и массой т движется в статических Полях Е0(г);
Н0 (г), на которые наложены неоднородные быстро осциллирующие поля
E^(r,t)\ H_(r,f). Найти уравнение движения, описывающее плавную
траекторию (частота движения в статическом поле QCcoi - частоты
переменных полей) [24].
7.25. Электрон движется в поле стоячей волны, электрическое поле которой
E-E0cosioicoskz. Найти среднюю силу, действующею на электрон (о<Сс).
7.26. Заряд движется с большой скоростью ц0 под углом к оси системы
квадрупольных линз со знакопеременной полярностью. Потенциал линз имеет
вид
§ 3]
Методы усреднения
51
где
/(г) = 1 при (п-1)?<г< (2п - 1) А;
f (2) = - 1 при (2п - 1) < г < tiL
(п - целые числа; U0, R, L - постоянные)..
Найти усредненную по быстрым осцилляциям силу, действующую на частицу.
7.27. Заряд влетает под малым углом к оси системы квадру-польных
магнитных линз, повернутых относительно друг друга на 90°. Напряженность
поля, создаваемого линзой, равна
Н = - Яуф-/(г); <р= -Ху,
а
где
f(z) -- 1 при (ft- 1)L< 2< (2ft- 1)-; f (2) = - I при (2n - 1) ~ < 2 < hi
(" - целые числа; H, a, L - постоянные).
Найти усредненную по быстрым осцилляциям силу, действующую на заряд.
7.28. Заряд движется в постоянном однородном магнитном поле и в поле
неподвижного заряда Q. Найти уравнение, описывающее движение заряда вдоль
