Задачи по теоретической механике для физиков - Ольховский И.И.
Скачать (прямая ссылка):
системы маятников.
6.43. Получить уравнение колебаний цепочки осцилляторов (см. задачу 6.41)
для предельного случая непрерывного рас- и
пределения массы. Найти дис- Рис. 6.42
персионное уравнение для этого
случая.
6.44. Найти уравнение колебаний "цепочки" маятников (см. задачу 6.42) в
предельном случае непрерывного распределения маятников.
§ 3. Вынужденные колебания
6.45. Определить вынужденные колебания линейного одномерного осциллятора
под действием силы F(t), если в начальный момент времени /=0 осциллятор
находился в состоянии равновесия. Найти также полную переданную
осциллятору энергию, если
а){У><(r)'<&*¦
(О, t < 0;
б) F(t)^\F0, nT<t<nT + x;
10, пГ + т<*<(п+ \)Т,
где п = 0, 1,2,...
6.46. Определить энергию, переданную линейному одномерному осциллятору
под воздействием силы F (t) =Foe~{t!tf. В момент времени t=-оо осциллятор
покоился в положении равновесия.
6.47. На слабо затухающий одномерный осциллятор действует внешняя сила
F(t) ~Fo cos со t. Определить среднее за период 2я/м значение поглощаемой
осциллятором мощности в установившемся режиме. Показать, что оно равно
среднему значению мощности, расходуемой на трение.
6.48. Найти закон вынужденных колебаний линейного одномерного осциллятора
под воздействием силы F(t) при наличии "линейного" сопротивления.
46
Линейные колебания
[Гл 6
6.49. Два одинаковых маятника соединены пружиной жесткости к (ее длина в
ненапряженном состоянии равна расстоянию между точками подвеса
маятников). К одному из них приложена внешняя гармоническая сила,
направленная по горизонтали. Исследовать зависимость отношения амплитуд
маятников от частоты внешней силы.
6.50. Показать, что интервал частот, на котором поглощаемая осциллятором
мощность не меньше половины своего максимального значения, равен 2р (р -
коэффициент затухания осциллятора).
6.51. Заряд е движется в электрическом поле Е- Eocosco^. Показать, что
наличие сопротивления среды Fd=-со) приводит к поглощению энергии поля
зарядом.
6.52. Найти функцию Грина и решение уравнения
здесь К, о>о2 - постоянные величины.
6.53. Определить энергию, переданную электрону атома быстрой пролетающей
частицей (в диполыюм приближении) [12, с. 475].
6.54. Найти среднее значение мощности, поглощаемой пространственным
изотропным осциллятором при взаимодействии с электромагнитной волной.
6.55. Электроны движутся в среде в скрещенных однородном магнитном поле H
= Hnz и электростатическом поле с потенциалом
ф - (х2 + у1 - 2г2), причем (e0tf/mc)2>4e0?7o/m./?2(t/o,
R - по-
стоянные). Сила сопротивления среды равна - тХ\ (тмасса электрона, К -
постоянная). Найти энергию, поглощаемую электронами при взаимодействии с
внешней электромагнитной волной в дипольном приближении [13].
6.56. Система линейных одномерных осцилляторов находится в волноводе в
среде с линейным сопротивлением и совершает колебания в плоскости,
перпендикулярной оси волновода. Напряженность электрического поля волны в
волноводе имеет вид Е = С(л\ -kz), где ось z направлена по оси волновода.
Найти среднее (по времени и начальным фазам осцилляторов) значение
мощности, поглощаемой системой при ее слабом взаимодействии с
электромагнитной волной.
6.57. Пусть заряженные частицы однородно распределены в пространстве, а
их функцией распределения по скоростям является функция Максвелла
X а,ЛГ 4-<ВоХ = /(*);
Вынужденные колебания
47
(здесь 0 - абсолютная температура, выраженная в единицах энергии).
Найти изменение (для малых интервалов времени) средней кинетической
энергии частиц под воздействием электромагнитной волны E=E0cos(w/-kr)
(взаимодействием между частицами можно пренебречь) [14].
6.58. Найти зависимость от времени среднего квадрата радиуса-вектора
свободной брауновской частицы [15].
6.59. Найти среднеквадратичное смещение брауновского линейного вибратора
с потенциальной энергией U-y.x2I2.
ГЛАВА 7
Нелинейные колебания
§ 1. Собственные колебания и метод Крылова- Боголюбова.
7.1. Найти закон движения математического маятника (при произвольном его
отклонении от вертикали).
7.2. Представить период колебаний математического маятника в виде
эллиптического интеграла первого рода. Найти зависимость периода малых
колебаний маятника и его частоты от амплитуды колебаний.
7 3. Найти закон движения математического маятника в случае малых
колебаний методом Крылова - Боголюбова (КБ) [1, 17].
7.4. Найти закон движения математического маятника, находящегося под
действием силы тяжести и силы кулонова трения (для малых углов
отклонения).
7.5. Математический маятник, движущийся в среде с сопротивлением, один
раз за период колебаний возбуждается данным импульсом ро при значении
угла отклонения фо. Найти условия возникновения стационарного режима
линейных колебаний.
7.6. Сначала спутник двигался в поле Земли по круговой орбите. Затем
произошло незначительное изменение орбиты, в результате чего спутник стал
совершать малые радиальные колебания по отношению к первоначальной
